Das ganze Kapitel „Quantenobjekte“ auf einen Blick: der rote Faden durch 6.1.1 bis 6.2.3, acht Merksätze, alle Formeln und Zahlen — und ein Selbstcheck, der zeigt, wo Sie stehen.
Das Kapitel führt in fünf Schritten von einer überraschenden Beobachtung zu einer neuen Denkweise: Erst zeigt ein Versuch, dass sich Elektronen wie Wellen verhalten (6.1.1). Dann wird dieses Verhalten mit einer einzigen Formel quantitativ gefasst (6.1.2). Anschließend wird der Versuch so weit getrieben, dass immer nur ein einzelnes Elektron unterwegs ist (6.2.1) — und die Frage beantwortet, was die Welle dann überhaupt beschreibt (6.2.2). Zum Schluss steht die Deutung, die beides zusammenhält: die Komplementarität (6.2.3). Jede Karte nennt die Kernaussage, die Kernformel und führt zurück ins Unterkapitel.
Beschleunigte Elektronen treffen auf eine dünne Graphitfolie; auf dem Leuchtschirm erscheinen konzentrische Ringe. Die Kohlenstoffatome wirken wie ein Gitter — Ringe entstehen nur durch Interferenz, also durch Wellenverhalten. Abprallende Kugeln ergäben einen gleichmäßigen Fleck ohne dunkle Zwischenräume.
Jedem Objekt mit Impuls p ist eine Wellenlänge zugeordnet — das Wirkungsquantum h verbindet Teilchen- und Wellengröße. λ ist antiproportional zu v und zu m. Für Elektronen liegt λ bei einigen Zehntel Nanometern, also beim Atomabstand im Kristall — nur deshalb funktioniert Elektronenbeugung.
Jedes Elektron erzeugt genau einen Punkt auf dem Schirm. Erst die Summe sehr vieler Punkte zeigt das Streifenmuster — bei 10 Treffern scheinbar zufällig, bei 1000 erahnbar, bei 100 000 klar. Das gelingt auch dann, wenn immer nur ein Elektron unterwegs ist: Selbstinterferenz.
Die Wellenfunktion ψ nennt nicht den Ort, sondern die Wahrscheinlichkeit: P ist proportional zum Quadrat der Amplitude. Dunkler Streifen heißt wirklich „kein Treffer“, nicht „selten ein Treffer“. Der Einzelfall bleibt offen, die Häufigkeitsverteilung ist sehr genau vorhersagbar.
Welle und Teilchen sind zwei einander ergänzende Seiten desselben Quantenobjekts; welche sichtbar wird, entscheidet der Versuchsaufbau — nie beide zugleich. Ist die Weginformation grundsätzlich verfügbar, verschwindet die Interferenz; die Gesamtzahl der Treffer bleibt gleich.
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Diese acht Sätze tragen das ganze Kapitel. Wer sie sicher aufsagen und begründen kann, hat den Reproduktionsteil einer Klausur (AFB I) im Griff — und die Grundlage für alles Weitere. Unter jedem Merksatz steht die typische Falle, die in Klausuren am häufigsten Punkte kostet.
Jedem Objekt mit Impuls ist eine Wellenlänge zugeordnet — jedem, nicht nur dem Elektron. Mit h = 6,626·10−34 Js. Louis de Broglie, 1924.
Falle: „Bei großen Massen gibt es keine Wellenlänge.“ Doch — sie ist nur zu klein zum Messen (Fußball: 6,2·10−35 m).Geschwindigkeit und Masse stehen im Nenner: doppelte Geschwindigkeit ⇒ halbe Wellenlänge. Deshalb haben schnelle Elektronen eine besonders kurze Wellenlänge.
Falle: „Gleiche Geschwindigkeit ⇒ gleiche Wellenlänge.“ Nein — das schwerere Teilchen hat den größeren Impuls und die kleinere Wellenlänge.Aus eU = ½mev² folgt v = √(2eU/me). Beispiel: U = 4,0 kV ⇒ v = 3,75·107 m/s und λ = 1,9·10−11 m.
Falle: Die Wurzel vergessen. Vierfache Spannung heißt halbe Wellenlänge, nicht ein Viertel.Weil r ∼ λ ∼ 1/√U gilt, ist das Produkt für alle Spannungen gleich. In der Messreihe des Kapitels: 2,83 / 2,84 / 2,84 / 2,82 / 2,82 cm·√kV. Umrechnung: r2 = r1·√(U1/U2).
Falle: „Doppelte Spannung halbiert den Radius.“ Nein — es bleiben 1/√2 ≈ 71 %; erst die vierfache Spannung halbiert.Die Wellenfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. Gemessen wird ihr Quadrat, deshalb sind Wellenberg und Wellental gleichwertig. Halbe Amplitude ⇒ ein Viertel der Trefferdichte, doppelte Amplitude ⇒ vierfach.
Falle: „ψ beschreibt ein verschmiertes Elektron.“ Nein — nachgewiesen wird immer ein Punkt; ψ liefert nur die Wahrscheinlichkeit.Beispiel: P = 0,15 und N = 2000 ergeben 300 Treffer. Umgekehrt gilt P = Treffer/N, etwa 480 von 8000 ⇒ P = 0,06.
Falle: P als Prozentzahl einsetzen (15 statt 0,15) — das Ergebnis liegt um den Faktor 100 daneben.Eine Vorhersage von 500 und ein Messwert von 480 sind kein Widerspruch: einzelne Zählungen weichen zufällig vom Erwartungswert ab (hier 20 Treffer, also 4 %). Je größer N, desto kleiner die relative Abweichung (bei N = 200 rund 17,5 %, bei N = 20 000 nur 0,95 %).
Falle: „Weil der Einzelfall zufällig ist, lässt sich nichts vorhersagen.“ Doch — die Häufigkeitsverteilung sehr genau.Das Muster entsteht auch bei Vereinzelung — jedes Elektron interferiert mit sich selbst, nicht mit anderen. Welche Seite sichtbar wird, entscheidet der Versuchsaufbau; entscheidend ist die grundsätzliche Verfügbarkeit der Weginformation (Niels Bohr).
Falle: „Der Detektor verwandelt das Elektron in ein Teilchen.“ Nein — das Objekt bleibt dasselbe, nur die Frage des Experiments hat sich geändert.Alles, was im Kapitel gerechnet wurde, an einer Stelle: erst die Formeln, dann die Konstanten, dann die durchgerechneten Beispiele und zum Schluss die Messreihen aus den Übungen. Auf schmalen Bildschirmen lassen sich die Tabellen seitlich wischen.
Tabelle 1 — Formeln
| Größe / Zusammenhang | Formel | Was sie sagt | Kapitel |
|---|---|---|---|
| Impuls | p = m · v | Die Teilchengröße, die in die Wellenformel eingeht. | 6.1.2 |
| De-Broglie-Wellenlänge | λ = h/p = h/(m v) | h verbindet Teilchen- und Wellengröße; gilt für jedes Objekt mit Impuls. | 6.1.2 |
| Antiproportionalität | λ ∼ 1/v, λ ∼ 1/m | Schneller oder schwerer bedeutet kurzwelliger. | 6.1.2 |
| Beschleunigung im Feld | eU = ½ me v² ⇒ v = √(2eU/me) | Energiebilanz auf der Beschleunigungsstrecke. | 6.1.2 |
| Wellenlänge nach Beschleunigung | λ = h/√(2meeU) ∼ 1/√U | Folgt aus λ = h/p und der Energiebilanz. | 6.1.2 |
| Ringradius | r ∼ λ ∼ 1/√U; r·√U = konst. | Größere Spannung ⇒ kleinerer Ring. | 6.1.1 |
| Radius umrechnen | r2 = r1 · √(U1/U2) | Arbeitsformel für die Beugungsröhre. | 6.1.1 |
| Gitterbedingung | sinα = λ/d | Beugung ist nur beobachtbar, wenn λ höchstens etwa so groß wie d ist. | 6.1.1 |
| Maxima am Doppelspalt | sinαk = k · λ/d | Richtung des Maximums k-ter Ordnung. | 6.2.1 |
| Streifenabstand | Δy = L · λ/d | Kleinwinkelnäherung; Δy ∼ 1/√U. | 6.2.1 |
| Flugdauer | t = s/v | Nachweis, dass immer nur ein Elektron unterwegs ist. | 6.2.1 |
| Born-Regel | P ∼ |ψ|² | ψ liefert die Wahrscheinlichkeit, nicht den Ort. | 6.2.2 |
| Erwartungswert | Treffer ≈ P · N | Vorhersage der Häufigkeit in einem Streifen. | 6.2.2 |
| Abweichung vom Erwartungswert | relativ = Abweichung/(P · N) | Einzelne Zählungen weichen zufällig ab; mit wachsendem N wird die relative Abweichung kleiner. | 6.2.2 |
| Amplitudenverhältnis | TrefferA/TrefferB = (ψA/ψB)² | Dreifache Amplitude ⇒ neunfache Trefferzahl. | 6.2.2 |
| Amplitudenaddition | (√N1 + √N2)² | Nicht die Trefferzahlen, sondern die Amplituden addieren sich. | 6.2.3 |
| Welcher-Weg-Information | Weg bekannt ⇒ keine Interferenz | Mit Detektor entstehen zwei Streifen wie von zwei Einzelspalten (Komplementarität). | 6.2.3 |
Tabelle 2 — Konstanten und Bezugsgrößen
| Symbol | Wert | Bedeutung |
|---|---|---|
| h | 6,626·10−34 Js | Plancksches Wirkungsquantum |
| e | 1,602·10−19 C | Elementarladung |
| me | 9,11·10−31 kg | Elektronenmasse |
| mp | 1,67·10−27 kg | Protonenmasse (rund 1800·me) |
| d | 2,1·10−10 m | Gitterabstand in Graphit |
Tabelle 3 — Durchgerechnete Beispiele
| Situation | Ansatz | Ergebnis | Kapitel |
|---|---|---|---|
| U: 2,0 → 8,0 kV, r1 = 2,0 cm | 2,0 cm · √(2,0/8,0) | 1,0 cm | 6.1.1 |
| U: 2,5 → 10 kV, r1 = 2,4 cm | 2,4 cm · 0,50 | 1,2 cm | 6.1.1 |
| U: 1,0 → 9,0 kV, r1 = 3,0 cm | 3,0 cm · 1/3 | 1,0 cm | 6.1.1 |
| r auf ein Drittel bei U1 = 400 V | neunfache Spannung | 3600 V | 6.1.1 |
| U verdoppeln | 1/√2 | ≈ 71 % des Radius | 6.1.1 |
| Laserlicht 630 nm an Graphit | sinα = λ/d = 3,0·103 | unmöglich (> 1) | 6.1.1 |
| Elektron, v = 1,0·106 m/s | λ = h/(mev) | 7,3·10−10 m = 0,73 nm | 6.1.2 |
| Elektron, v = 2,0·106 m/s | p = 1,82·10−24 kg·m/s | 0,36 nm | 6.1.2 |
| Elektron, v = 3,0·106 m/s | p = 2,73·10−24 kg·m/s | 0,24 nm | 6.1.2 |
| Elektron, v = 4,0·106 m/s | Viertel von 0,73 nm | ≈ 0,18 nm | 6.1.2 |
| Elektron, v = 1,0·105 bzw. 1,0·107 m/s | λ ∼ 1/v | 7,3 nm bzw. 0,073 nm | 6.1.2 |
| gewünscht: λ = 0,10 nm | v = h/(meλ) | 7,3·106 m/s | 6.1.2 |
| Elektron nach U = 4,0 kV | v = 3,75·107 m/s (12,5 % von c) | λ = 1,9·10−11 m (19 pm) | 6.1.2 |
| dasselbe Elektron am Graphitgitter | λ/d = 0,092 = sinα | α ≈ 5,3° | 6.1.1 |
| Elektron nach U = 10 kV | λ = h/√(2meeU) | 1,23·10−11 m | 6.1.2 |
| Proton, v = 1,0·106 m/s | λ = h/(mpv) | ≈ 4·10−13 m | 6.1.2 |
| Tennisball 58 g, 30 m/s | λ = h/(m v) | ≈ 4·10−34 m | 6.1.2 |
| Fußball 0,43 kg, 25 m/s | p = 10,75 kg·m/s | 6,2·10−35 m | 6.1.2 |
| Doppelspalt d = 50 nm, L = 0,40 m, U = 10 kV | Δy = Lλ/d | 9,8·10−5 m ≈ 0,10 mm | 6.2.1 |
| dieselbe Anordnung bei U = 40 kV | Δy ∼ 1/√U | 0,049 mm | 6.2.1 |
| Unterrichtsblende d = 0,50 mm | Δy = Lλ/d | ≈ 10 nm ⇒ nur ein Fleck | 6.2.1 |
| Vereinzelung: s = 0,45 m, v = 3,0·107 m/s | t = s/v; Rate 1,0·103 1/s | 15 ns gegen 1,0 ms ⇒ 1,5·10−5 | 6.2.1 |
| schwache Quelle: 60 Elektronen/min, 50 min | 60 · 50 | 3000 Treffer (Muster erahnbar) | 6.2.1 |
| P = 0,15 und N = 2000 | Treffer = P·N | 300 | 6.2.2 |
| 480 Treffer von N = 8000 | P = Treffer/N | P = 0,06 | 6.2.2 |
| P = 0,12 und N = 5000 | P·N = 0,12 · 5000 | 600 | 6.2.2 |
| Amplitude an A dreimal so groß wie an B, N = 20 000 | Faktor 3² = 9; B hat 100 Treffer | A: 900 ⇒ PA = 0,045 | 6.2.2 |
| Vorhersage 500, gemessen 480 | Abweichung 20, relativ 4 % | Zufall, kein Widerspruch | 6.2.2 |
Tabelle 4 — Messreihen aus den Übungen
| U in kV | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 | 8,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| r in cm | 2,00 | 1,64 | 1,42 | 1,26 | 1,15 | 1,00 * |
| r·√U in cm·√kV | 2,83 | 2,84 | 2,84 | 2,82 | 2,82 | 2,83 |
* Vorhersage statt Messwert: r = 2,83 cm·√kV / √8,0 kV = 1,00 cm.
| Streifen | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 |
|---|---|---|---|---|---|
| P | 0,05 | 0,20 | 0,50 | 0,20 | 0,05 |
| Treffer bei N = 200 | 6 | 47 | 96 | 38 | 13 |
| Treffer bei N = 20 000 | 1017 | 3962 | 10043 | 3971 | 1007 |
S2 bei N = 20 000: erwartet 4000, gemessen 3962 ⇒ Abweichung 38, relativ 0,95 %. Bei N = 200: erwartet 40, gemessen 47 ⇒ relativ 17,5 % — rund 18-mal so groß.
| Aufbau | Treffer bei P | Treffer bei Q |
|---|---|---|
| nur Spalt 1 offen | 850 | 900 |
| nur Spalt 2 offen | 870 | 880 |
| beide Spalte offen | 35 | 3520 |
| klassische Summe (Erwartung) | 1720 | 1780 |
| Amplitudenaddition (√900+√880)² | — | ≈ 3560 |
Bei P bleiben von 1720 erwarteten Treffern nur 35 übrig (≈ 2 %), bei Q werden es doppelt so viele wie erwartet. Elektronen werden also nicht vernichtet, sondern aus den Minima in die Maxima umverteilt.
Fünf Bausteine des Kapitels in einem Werkzeug. Schalten Sie oben zwischen den Modulen um und regeln Sie jeweils eine Größe — rechts steht sofort, was daraus folgt. Alle Zahlen sind mit den Formeln des Kapitels gerechnet. Zu jedem Modul gehört ein kurzer Werkstatt-Auftrag; er zählt für die Fortschrittsanzeige oben.
Die Deutung erscheint hier.
Bedienung: Modul mit den Schaltflächen wählen. Den Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten feinstellen (Pos1/Ende springen an die Enden). Das Bild selbst ist ebenfalls anwählbar: mit Pfeil links/rechts änderst du dort den Wert, mit Enter oder Leertaste schaltest du zum nächsten Modul.
In der Messreihe von Tabelle 4 gilt r·√U = 2,83 cm·√kV. Stellen Sie die Spannung so ein, dass der innere Ring den Radius 1,00 cm hat, und prüfen Sie Ihre Einstellung.
Für ein Elektron wird in Tabelle 3 die Wellenlänge 0,24 nm berechnet. Stellen Sie die Geschwindigkeit ein, die zu dieser Wellenlänge gehört, und prüfen Sie Ihre Einstellung.
Das Kapitel nennt drei Stufen: wenige zufällige Punkte, Streifen erahnbar, klares Interferenzmuster. Stellen Sie die Elektronenzahl ein, bei der das Muster klar ist, und prüfen Sie Ihre Einstellung.
Für den mittleren Streifen gilt P = 0,50. Stellen Sie N so ein, dass dort etwa 10 000 Treffer erwartet werden, und prüfen Sie Ihre Einstellung.
Der Welcher-Weg-Detektor macht den Weg jedes Elektrons bekannt. Stellen Sie den Detektor so ein, dass zwei breite Streifen wie von zwei Einzelspalten erscheinen, und prüfen Sie Ihre Einstellung.
Gehen Sie die zehn Punkte ehrlich durch: Formulieren Sie zuerst im Kopf (oder auf Papier) eine Antwort — erst dann aufklappen und vergleichen. Jeder aufgeklappte Punkt zählt als bearbeitet und wandert in die Fortschrittsanzeige oben. Wo es hakt, führt der Link direkt in das passende Unterkapitel.
Ein Punkt bleibt unsicher? Die Seite Typische Fehler nimmt genau die Stellen auseinander, an denen es in Klausuren am häufigsten schiefgeht.
Wenn der Selbstcheck sitzt, geht es ans Anwenden. Für die Klausurvorbereitung ist die Reihenfolge Lernkarten → Selbsttest → Übungen → Probeklausur bewährt: erst die Begriffe sichern, dann das Wissen abfragen, dann rechnen, zuletzt unter Zeitdruck.