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Induktion

Zehn Aufgaben, die mehrere Schritte verbinden: Rechenketten von B über ΔΦ bis U, Formeln sauber umstellen, Diagramme und Messreihen auswerten, ordnen und mit dem Lenzschen Gesetz begründen.

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Aufgabenblock — AFB II

Diese Übung verlangt mehr als das Einsetzen in eine Formel: Sie verknüpfen mehrere Schritte, stellen Formeln um, lesen Diagramme und Messreihen aus, ordnen und vergleichen und begründen mit dem Induktions- und dem Lenzschen Gesetz. Das ist die Anforderungsstufe AFB II — hier wird sichtbar, ob Sie den Zusammenhang Feld → Fläche → Fluss → Änderungsrate → Spannung wirklich durchschauen. Zu jeder Aufgabe gibt es gestufte Tipps und eine vollständige Lösung. Grundlagen fehlen? Dann zuerst Übung AFB I.

A1
Die ganze Kette: Feld → Fläche → ΔΦ → Rate → U
AFB II

Eine quadratische Spule mit der Kantenlänge 20 cm und N = 250 Windungen steht senkrecht zu den Feldlinien (α = 0°). Das Feld wird von B1 = 0,30 T gleichmäßig auf B2 = 0,10 T heruntergefahren; das dauert Δt = 0,50 s.

Berechnen Sie Schritt für Schritt: a) die Fläche A einer Windung, b) die Flussänderung ΔΦ je Windung, c) die Änderungsrate ΔΦ/Δt und d) den Betrag der Induktionsspannung U.

m²
mWb
Wb/s
V
Ansatz: Vier Schritte in fester Reihenfolge. A = Kantenlänge², dann ΔΦ = ΔB · A (die Fläche bleibt gleich, nur B ändert sich), dann die Rate ΔΦ/Δt, zuletzt |U| = N · ΔΦ/Δt.
Rechenweg: A = 0,20 m · 0,20 m = 0,040 m². ΔB = 0,30 T − 0,10 T = 0,20 T. ΔΦ = 0,20 T · 0,040 m² = 8,0 · 10−3 Wb. Rate = 8,0 · 10−3 Wb : 0,50 s. |U| = 250 · Rate.
Lösung: a) 0,040 m² · b) 8,0 mWb · c) 0,016 Wb/s · d) 4,0 V.
Vollständige Lösung
a) A = (0,20 m)² = 0,040 m² — Vorsicht: nicht 20 cm einsetzen und nicht durch 100 teilen.
b) ΔB = 0,30 T − 0,10 T = 0,20 T; ΔΦ = ΔB · A = 0,20 T · 0,040 m² = 8,0 · 10−3 Wb = 8,0 mWb
c) ΔΦ/Δt = 8,0 · 10−3 Wb : 0,50 s = 0,016 Wb/s
d) |U| = N · ΔΦ/Δt = 250 · 0,016 Wb/s = 4,0 V
Beachten Sie: Ob B steigt oder fällt, ändert nur das Vorzeichen. Für den Betrag zählt allein, wie schnell sich der Fluss ändert — nicht, wie groß er ist.
Kante 20 cm, N = 250 B: 0,30 T → 0,10 T in 0,50 s A = 0,040 m² dPhi = dB · A Rate = dPhi / dt |U| = N · Rate Jeder Schritt braucht den vorigen
Die Rechenkette
A2
Umstellen mit Klammer — v = U/(B·l)
AFB II

Ein Leiterstab der Länge l = 25 cm soll in einem Feld mit B = 0,20 T eine Spannung von U = 0,60 V liefern. B, l und v stehen paarweise senkrecht aufeinander.

a) Stellen Sie U = B · l · v nach v um und berechnen Sie die nötige Geschwindigkeit. b) Rechnen Sie das Ergebnis in km/h um und beurteilen Sie, ob ein Mensch den Stab so schnell von Hand ziehen kann.

m/s
km/h
Die Klammer entscheidet. Aus U = B·l·v folgt v = U / (B · l) — im Nenner steht das Produkt. Wer im Taschenrechner „U ÷ B · l“ tippt, teilt nur durch B und multipliziert danach noch mit l: das Ergebnis liegt um den Faktor l² daneben.
Ansatz: Beide Seiten durch (B · l) teilen: v = U / (B · l). Rechnen Sie zuerst das Produkt B · l aus, bevor Sie teilen. 25 cm = 0,25 m.
Rechenweg: B · l = 0,20 T · 0,25 m = 0,050 T·m. v = 0,60 V : 0,050 T·m. Für km/h: Zahlenwert in m/s mal 3,6.
Lösung: a) v = 12 m/s. b) 12 · 3,6 = 43,2 km/h — deutlich über 40 km/h, von Hand unmöglich.
Vollständige Lösung
a) v = U / (B · l) = 0,60 V / (0,20 T · 0,25 m) = 0,60 V / 0,050 T·m = 12 m/s
b) 12 m/s · 3,6 = 43,2 km/h — das ist das Tempo eines Weltklasse-Sprinters. Von Hand unmöglich; man bräuchte einen Antrieb oder ein deutlich stärkeres Feld.
Gegenprobe: U = 0,20 T · 0,25 m · 12 m/s = 0,60 V ✓
Ohne Klammer käme 0,60 : 0,20 · 0,25 = 0,75 m/s heraus — 16-mal zu klein, denn 0,25² = 0,0625.
v = U / (B · l) 0,60 / 0,050 = 12 m/s richtig U ÷ B · l 0,60 / 0,20 · 0,25 = 0,75 m/s Faktor l² daneben Erst B · l ausrechnen, dann teilen
Mit und ohne Klammer
A3
Gekippte Spule — vom Winkel zur Spannung
AFB II

Eine Spule mit N = 200 Windungen und der Windungsfläche A = 80 cm² liegt in einem homogenen Feld mit B = 0,25 T. Zunächst zeigt die Flächennormale genau in Feldrichtung (α = 0°). Dann wird die Spule in Δt = 40 ms gleichmäßig auf α = 60° gekippt; B bleibt dabei unverändert.

Bestimmen Sie a) den Fluss Φ1 vor und b) Φ2 nach dem Kippen, c) den Betrag der Flussänderung ΔΦ und d) die Induktionsspannung U.

mWb
mWb
mWb
V
Ansatz: Hier ändert sich nicht B, sondern der Winkel. Rechnen Sie zuerst den Höchstwert B · A aus, multiplizieren Sie ihn mit cos 0° = 1,00 bzw. cos 60° = 0,50 und bilden Sie die Differenz. Erst dann |U| = N · ΔΦ/Δt mit Δt in Sekunden.
Rechenweg: A = 80 cm² : 10 000 = 8,0 · 10−3 m²; B · A = 0,25 · 8,0 · 10−3 = 2,0 · 10−3 Wb. Φ1 = 2,0 mWb · 1,00; Φ2 = 2,0 mWb · 0,50. Δt = 40 ms = 0,040 s.
Lösung: a) 2,0 mWb · b) 1,0 mWb · c) 1,0 mWb · d) 200 · 1,0 · 10−3 Wb : 0,040 s = 5,0 V.
Vollständige Lösung
A = 80 cm² : 10 000 = 8,0 · 10−3 m²; B · A = 0,25 T · 8,0 · 10−3 m² = 2,0 · 10−3 Wb
a) Φ1 = B · A · cos 0° = 2,0 mWb · 1,00 = 2,0 mWb
b) Φ2 = B · A · cos 60° = 2,0 mWb · 0,50 = 1,0 mWb — beim Kippen auf 60° bleibt genau die Hälfte übrig
c) |ΔΦ| = 2,0 mWb − 1,0 mWb = 1,0 mWb
d) Δt = 40 ms = 0,040 s; |U| = N · |ΔΦ|/Δt = 200 · 1,0 · 10−3 Wb : 0,040 s = 5,0 V
Zwei klassische Fallen: cos 60° ist 0,50 (die 0,87 gehört zu 30°), und α wird zwischen Feld und Flächennormale gemessen, nicht zwischen Feld und Fläche.
n alpha = 0 Grad Phi = 2,0 mWb 60° alpha = 60 Grad Phi = 1,0 mWb Kippen in 40 ms — nur die Rate zählt
Vor und nach dem Kippen

Wie war es?

Wie sicher fühlen Sie sich nach diesen 10 AFB-II-Aufgaben zur Induktion?