AFB III — Verallgemeinern und Reflektieren
Jetzt wird gedreht und begründet: Statt eines vorgegebenen Rechenwegs steht am Anfang oft nur das Ergebnis, ein Parameter oder eine Behauptung. Solche Aufgaben verlangen einen eigenen Ansatz und eine Erklärung in Worten — das ist der Anforderungsbereich III (Verallgemeinern und Reflektieren). Lass dir Zeit; wer hier weiterkommt, ist für die Klausur bereit.
Fünf behauptete Ableitungen. Prüfen Sie jede Zeile und korrigieren Sie die falschen.
-1/x^2, Winkelfunktionen als cos(x).Zeigen Sie mit der h-Methode, dass für \(f(x)=x^{2}\) an jeder Stelle \(x_0\) gilt: \(f'(x_0)=2x_0\). Begründen Sie dabei, warum durch \(h\) gekürzt werden darf, obwohl \(h\) anschließend gegen null geht.
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Differenzenquotient aufstellen: \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{2}}{h}\).
Zähler ausmultiplizieren: \((x_0+h)^{2}-x_0^{2}=x_0^{2}+2x_0h+h^{2}-x_0^{2}=2x_0h+h^{2}\).
Ausklammern und kürzen: \(\dfrac{h\,(2x_0+h)}{h}=2x_0+h\).
Grenzübergang: \(f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}(2x_0+h)=2x_0\).
Zur Begründung: Beim Kürzen ist \(h\) noch eine von null verschiedene Zahl — die beiden Punkte müssen ja verschieden sein, sonst gäbe es keine Sekante. Erst danach betrachtet man, wohin der Term \(2x_0+h\) strebt, wenn \(h\) beliebig klein wird. Man setzt \(h=0\) also nie in den Bruch ein, sondern nur in den bereits gekürzten Term. Genau das ist der Unterschied zwischen „einsetzen“ und „Grenzwert bilden“.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}25x^{2}\) und die Stelle \(x_0=-1\).
Berechnen Sie zuerst \(f'(-1)\) und durchlaufen Sie dann den Baum, bis das passende Ergebnis erreicht ist.