AFB I — Reproduzieren
Diese zehn Aufgaben sichern das Handwerk des Kapitels: Begriffe sauber benennen, den Differenzenquotienten aufstellen, mit der Potenzregel ableiten und eine Tangente aufstellen. Jede Aufgabe ist in ein bis zwei Schritten lösbar — das entspricht dem Anforderungsbereich I (Reproduzieren) im Abitur. Fünf Aufgaben löst du direkt am Bildschirm, fünf rechnest du auf Papier und vergleichst danach mit der Musterlösung. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Sechs Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter ein — drei bleiben übrig.
Die Gerade durch die beiden Punkte \(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\) des Graphen heißt . Ihre Steigung berechnet man mit dem Bruch \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\); dieser Bruch trägt den Namen . Lässt man den Punkt \(Q\) immer näher an \(P\) heranrücken, so entsteht als Grenzlage die . Ihre Steigung ist die von \(f\) an der Stelle \(x_0\); man nennt diese Zahl auch die von \(f\) an dieser Stelle. Damit sie überhaupt existiert, muss der des Differenzenquotienten für \(x\to x_0\) existieren.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}+1\).
Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von \(f\) auf dem Intervall \([1\,;\,4]\) und geben Sie an, was der Wert geometrisch bedeutet.
Musterlösung anzeigen
Zuerst die beiden Funktionswerte: \(f(1)=1^{2}+1=2\) und \(f(4)=4^{2}+1=17\).
Dann der Differenzenquotient: \(m=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{17-2}{3}=\dfrac{15}{3}=5\).
Bedeutung: \(m=5\) ist die Steigung der Sekante durch \(P(1\mid 2)\) und \(Q(4\mid 17)\). Im Mittel wächst der Funktionswert auf diesem Intervall also um \(5\) Einheiten, wenn \(x\) um eine Einheit zunimmt.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=3\).
Bestimmen Sie \(f'(3)\) in drei Schritten. Der Differenzenquotient \(\frac{(3+h)^{2}-9}{h}\) lässt sich zu \(6+h\) vereinfachen.
- \(f(3)=\;?\)
- Der vereinfachte Differenzenquotient \(6+h\) hat für \(h=0{,}1\) den Wert \(?\)
- Für \(h\to 0\) folgt \(f'(3)=\;?\)