AFB II — Zusammenhänge herstellen
Hier wird verknüpft: mehrere Rechenschritte hintereinander, der Wechsel zwischen Graph und Term, Ableitung und Sachkontext. Die Aufgaben verlangen keine neuen Formeln, sondern das Zusammensetzen dessen, was du schon kennst — das ist der Anforderungsbereich II (Zusammenhänge herstellen). Fünf Aufgaben löst du interaktiv, fünf schriftlich mit anschließendem Abgleich.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}5x^{2}-x\) und die Berührstelle \(x_0=4\).
Bestimmen Sie die Tangente \(g(x)=mx+b\) Schritt für Schritt.
- \(f(4)=\;?\)
- \(f'(x)=x-1\), also \(m=f'(4)=\;?\)
- Aus \(4=3\cdot 4+b\) folgt \(b=\;?\)
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=1\).
Vereinfachen Sie den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\) und bestimmen Sie daraus \(f'(1)\).
Musterlösung anzeigen
Zähler ausrechnen: \(f(1+h)=(1+h)^{2}=1+2h+h^{2}\) und \(f(1)=1\), also \(f(1+h)-f(1)=2h+h^{2}\).
Bruch bilden und kürzen: \(\dfrac{2h+h^{2}}{h}=\dfrac{h\,(2+h)}{h}=2+h\) — erlaubt, weil \(h\neq 0\) ist.
Grenzübergang: \(f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}(2+h)=2\).
Das Ergebnis passt zur Potenzregel: \(f'(x)=2x\) liefert an der Stelle \(1\) ebenfalls \(2\).
Gesucht war die Normale an \(f(x)=x^{2}-2x\) im Punkt \(P(3\mid 3)\). Zwei Zeilen sind falsch.
Finden Sie die beiden Fehler.