MINT lernen

Energieerhaltungssatz

Zehn Situationen vom Freizeitpark bis zur Kirmes — und in jeder einzelnen steckt dieselbe Gleichung: Energie vorher = Energie nachher.

T

Textaufgaben

Alle zehn Aufgaben sind gleich aufgebaut und gleich schwer — sie unterscheiden sich nur in der Situation. In jeder Aufgabe beschreibst du in a) Anfangs- und Endzustand, berechnest in b) die Energie im Anfangszustand und bestimmst in c) mit \(E_{\text{vorher}} = E_{\text{nachher}}\) die gesuchte Größe. Nur die Zusatzaufgabe d) ist von Situation zu Situation verschieden. Gebraucht werden ausschließlich die Formeln aus Kapitel 1.1: \(E_{\text{kin}}=\tfrac12\,m\,v^2\), \(E_{\text{pot}}=m\,g\,h\), \(E_{\text{spann}}=\tfrac12\,D\,s^2\) und \(E_{\text{el}}=U\cdot I\cdot t\), immer mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\). Öffne den Erwartungshorizont erst, wenn deine eigene Lösung im Heft steht.

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Der erste Abfahrtshügel der Achterbahn

AFB I–III

Im Freizeitpark zieht eine Kette den Achterbahnzug langsam auf den ersten Hügel. Ganz oben, 45 m über dem tiefsten Punkt der Strecke, steht der Zug für einen Moment fast still — dann kippt er über die Kuppe und rast nach unten. Der Zug wiegt mit allen Fahrgästen zusammen 600 kg. Ab der Kuppe treibt kein Motor mehr an; Reibung und Luftwiderstand werden vernachlässigt. Hinter dem ersten Tal steigt die Strecke zu einem zweiten Hügel an — oben darauf misst die Anlage noch 20 m/s.

Gegebenm = 600 kg  ·  h = 45 m  ·  g = 9,81 N/kg  ·  Startgeschwindigkeit ≈ 0

  1. Beschreibe den Anfangs­zustand und den End­zustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
  2. Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
  3. Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit des Zuges am tiefsten Punkt der Strecke.
  4. Ermittle die Höhe des zweiten Hügels über dem tiefsten Punkt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Zug steht oben fast still und ist unten am schnellsten — welche Energieform passt jeweils dazu?
Hinweis zu Aufgabe b)
\(E_{\text{pot}} = m\cdot g\cdot h\). Die Einheit kg · N/kg · m ergibt Nm, und 1 Nm = 1 J.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(m\,g\,h = \tfrac12\,m\,v^2\) und kürze zuerst \(m\) weg. Zum Schluss die Wurzel ziehen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Auf dem zweiten Hügel steckt die Energie in beiden Formen. Rechne zuerst die Bewegungsenergie bei 20 m/s aus und schau, wie viel von den 264 870 J übrig bleibt.

Dieses Applet stammt aus Unterkapitel 1.2.3 »Anwendung: Die Achterbahn«. Die orange Linie ist die Gesamtenergie — sie liegt waagerecht über der ganzen Strecke. Der blaue Abschnitt zwischen Schiene und Linie ist die Bewegungsenergie: Schiebe den Wagen ins erste Tal, und du siehst genau die Größe, die du in Teilaufgabe c) berechnet hast.

Energielinie über der Strecke

Die orange gestrichelte Linie ist das Energiebudget der Fahrt. Alles unterhalb der Schiene ist Lageenergie, alles zwischen Schiene und Linie ist Bewegungsenergie.

Der Wagen steht am Lifthügel.

Der Wagen im Applet wiegt 900 kg statt 600 kg, der erste Hügel ist wie in der Aufgabe 45 m hoch — an der Geschwindigkeit im Tal ändert die Masse nichts. Achte darauf, dass die Schiene nirgends über die orange Linie ragt: Höher als der Starthügel kommt der Zug nie.