Aus dem Satz in Worten wird eine Gleichung: Anfangs- und Endzustand gleichsetzen, umstellen, einsetzen — so geht jede Anwendungsaufgabe.
Aus einem Satz in Worten wird ein Gleichheitszeichen.
Ein Stein auf dem Turm und derselbe Stein kurz vor dem Aufprall — dazwischen bleibt eine Zahl gleich.
Energieerhaltung als Gleichung
Satz: Energie geht nicht verloren, sie wandelt sich um. Zu jedem Zeitpunkt ergeben die Energieformen zusammen dieselbe Zahl.
Werkzeug: Daraus wird eine Gleichung, mit der man unbekannte Geschwindigkeiten und Höhen berechnen kann.
Zwei Energieformeln, ein Gleichheitszeichen dazwischen.
Der Satz aus Klasse 7 lässt sich direkt als Gleichung schreiben.
Der Energieerhaltungssatz als Gleichung:
Evorher = Enachher
Evorher: Die Energie im Anfangszustand, links vom Gleichheitszeichen.
Enachher: Die Energie im Endzustand, rechts vom Gleichheitszeichen.
Terme: Auf beiden Seiten stehen die Energieformeln.
Voraussetzung: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant. Wird eine Energieform kleiner, wird die andere um denselben Betrag größer.
Vier Schritte: 1. Anfangszustand, 2. Endzustand, 3. Energieterme beider Zustände aufschreiben, 4. gleichsetzen und nach der gesuchten Größe umstellen.
Masse: Beim Fall steht m auf beiden Seiten und kürzt sich weg: Die Geschwindigkeit hängt nicht von der Masse ab, die Energie schon.
Links eine Energieformel, rechts eine andere — fertig ist eine Gleichung, die du nach der unbekannten Größe umstellen kannst.
Jede Aufgabe in diesem Kapitel löst du nach demselben Muster:
Fällt ein Körper aus der Höhe h herunter, wird seine gesamte Lageenergie zu Bewegungsenergie:
Fall aus der Höhe h:
m · g · h = ½ · m · v²
links: Die Lageenergie oben, m · g · h.
rechts: Die Bewegungsenergie unten, ½ · m · v².
m: Steht auf beiden Seiten — man darf durch m teilen, die Masse verschwindet.
Aufprallgeschwindigkeit:
g · h = ½ · v² ⇒ v = √(2 · g · h)
Die Aufprallgeschwindigkeit hängt nur von der Fallhöhe ab, nicht von der Masse.
Genau das soll Galilei am schiefen Turm von Pisa gezeigt haben.
Zwei Springer, 40 kg und 80 kg, stehen auf unterschiedlich hohen Plattformen. Die Frage: Wer kommt schneller im Wasser an — und spielt die Masse wirklich eine Rolle?
Halte fest: Ohne Reibung hängt die Geschwindigkeit beim Auftreffen nur von der Höhe ab, v = √(2 · g · h) — die Masse steckt zwar in der Energie, aber nicht in der Geschwindigkeit.
Beim Skater auf der Rampe steht keine Masse im Text — sie wird auch nicht gebraucht. In m · g · h = ½ · m · v² steht m auf beiden Seiten und kürzt sich weg.
Nach dem Umstellen steht v² = 2 · g · h da, nicht v. Erst die Wurzel liefert das Ergebnis: v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 ≈ 9,9 m/s.
Rechne beide Seiten der Gleichung getrennt aus. Stimmen sie nicht ungefähr überein, steckt irgendwo ein Fehler — kleine Abweichungen sind nur Rundung.
Das Auto am Abhang — die Einführungsaufgabe, an der die ganze Umformung Zeile für Zeile entstanden ist.
Unterrichtsmitschrift „Einführung: Rechnen mit dem EE-Satz“ · Arbeitsblatt „Energieerhaltungssatz beim Turmspringen“