Aufgabenblock — AFB I
Diese Übung deckt alle sechs Unterkapitel des Themas „Schwingungen“ ab — von den Kenngrößen über die harmonische Schwingung und den Zeigerformalismus bis zu Feder-Masse-Pendel, Fadenpendel und Schwingkreis. Sie lösen 10 Standardaufgaben der Anforderungsstufe AFB I (Reproduzieren) — also: Begriff kennen, Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Zu jeder Aufgabe gehören bei Bedarf eine Formel-Erinnerung und eine ausführliche Lösung mit Erläuterung, die auch den Fehler benennt, der an dieser Stelle typischerweise droht. Dezimaltrennzeichen dürfen Sie als Komma oder Punkt eingeben; die Eingabetaste prüft ebenfalls.
Schwingungen beschreiben
Das Diagramm zeigt das Weg-Zeit-Diagramm einer ungedampften Schwingung. Bestimmen Sie durch Ablesen die Amplitude \(\hat y\) in Zentimetern und die Periodendauer \(T\) in Sekunden. Der Messcursor hilft Ihnen dabei: Er zeigt zu jeder Zeit \(t\) die zugehörige Auslenkung \(y\) an.
t = 0,00 s · y = 0,00 cm
Bedienung: in das Diagramm klicken oder ziehen — oder das Diagramm mit der Tabulatortaste anwählen und mit den Pfeiltasten (Schritt 0,05 s), Bild↑/Bild↓ (0,50 s), Pos1/Ende und Enter (nächster Umkehrpunkt) steuern.
Lösung anzeigen
\(T\): Das erste Maximum liegt bei \(t=0{,}5\,\mathrm s\), das nächste bei \(t=2{,}5\,\mathrm s\). Also \(T = 2{,}5\,\mathrm s - 0{,}5\,\mathrm s\) \(T = 2{,}0\,\mathrm s\)
Warum das so ist: Das Diagramm trägt zwei völlig verschiedene Ablesungen in zwei Richtungen. Senkrecht abgelesene Strecken sind Auslenkungen, waagerecht abgelesene Strecken sind Zeiten. Die Amplitude ist der Rekordwert der Elongation und bleibt bei einer ungedämpften Schwingung konstant — deshalb ist es egal, welchen der Umkehrpunkte Sie ausmessen.
Die beiden Fehler, die hier drohen: Erstens der Gesamthub: Von unten nach oben sind es \(6{,}0\,\mathrm{cm}\), und genau diese Zahl schreiben viele als Amplitude auf. Der Gesamthub ist aber \(2\hat y\) — die Amplitude reicht immer nur von der Ruhelage bis zum Umkehrpunkt. Zweitens die halbe Periode: Vom Maximum bis zum nächsten Minimum liegt nur die halbe Schwingung, das wären hier \(1{,}0\,\mathrm s\). Eine Periode ist das vollständige Hin und Zurück; zählen Sie deshalb von gleichartiger Stelle zu gleichartiger Stelle, also Maximum zu Maximum oder Nulldurchgang in derselben Richtung zum nächsten.
Schwingungen beschreiben
Ein Federpendel benötigt für eine vollständige Schwingung die Zeit \(T = 0{,}50\,\mathrm s\). Berechnen Sie die Frequenz \(f\) in Hertz.
Lösung anzeigen
Warum das so ist: \(T\) und \(f\) beschreiben dieselbe Schwingung von zwei Seiten. \(T\) beantwortet die Frage „Wie lange dauert eine Schwingung?“, \(f\) die Frage „Wie viele Schwingungen passen in eine Sekunde?“. Wenn eine Schwingung eine halbe Sekunde dauert, passen zwei davon in eine Sekunde — deshalb der Kehrwert. Die Einheit trägt das mit: \(1\,\mathrm{Hz}=1\,\tfrac{1}{\mathrm s}\).
Ihr Plausibilitätscheck: Ist \(T\) kleiner als eine Sekunde, muss \(f\) größer als \(1\,\mathrm{Hz}\) sein — und umgekehrt. Wer den Kehrwert vergisst und \(0{,}50\) stehen lässt, fällt bei dieser Regel sofort auf. Ein zweiter beliebter Fehler ist die Multiplikation mit 60: Das ergibt Schwingungen pro Minute, nicht Hertz.
Schwingungen beschreiben
Um die Schwingungsdauer eines Pendels möglichst genau zu bestimmen, stoppt man nicht eine einzelne Schwingung, sondern 20 aufeinanderfolgende. Die Stoppuhr zeigt für diese 20 vollständigen Schwingungen \(16{,}0\,\mathrm s\).
Berechnen Sie die Periodendauer \(T\) und daraus die Frequenz \(f\).
Lösung anzeigen
\(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0{,}80\,\mathrm s}\) \(f = 1{,}25\,\mathrm{Hz}\)
Warum man so misst: Beim Drücken der Stoppuhr entsteht jedes Mal ein Reaktionsfehler von etwa einer Zehntelsekunde — einmal beim Start, einmal beim Stopp. Bei einer einzelnen Schwingung von \(0{,}80\,\mathrm s\) wäre das ein Fehler von über zehn Prozent. Verteilen Sie denselben Fehler auf 20 Schwingungen, schrumpft er beim Teilen auf ein Zwanzigstel. Das ist der wichtigste Messtrick der Schwingungslehre und wird in Klausuren gern begründet verlangt.
Wo es schiefgeht: Manche setzen die \(16{,}0\,\mathrm s\) direkt in \(f=1/T\) ein und erhalten \(0{,}0625\,\mathrm{Hz}\) — das ist die Frequenz eines Pendels, das für eine Schwingung 16 Sekunden bräuchte. Achten Sie also darauf, immer zuerst durch die Anzahl zu teilen. Und prüfen Sie am Ende: \(T<1\,\mathrm s\), also muss \(f>1\,\mathrm{Hz}\) sein — \(1{,}25\,\mathrm{Hz}\) passt.
Wie war es?
Wie sicher fühlen Sie sich nach diesen 10 AFB-I-Aufgaben?