Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben aus allen sechs Unterkapiteln des Themas Schwingungen. Auf dieser Stufe genügt es nicht mehr, eine Formel abzurufen: Sie stellen \(T=2\pi\sqrt{m/D}\), \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) und \(T=2\pi\sqrt{LC}\) nach der gesuchten Größe um, rechnen Einheiten sauber ineinander um, lesen Werte aus einem Diagramm ab und begründen Ihre Ergebnisse. Drei selbst gebaute Prüfstände auf dieser Seite helfen beim Ausprobieren — gerechnet wird trotzdem von Hand. Gestufte Tipps stehen bereit, die vollständige Auflösung jeweils darunter.
Pendel-Prüfstand INTERAKTIV
Stellen Sie die Größen ein und vergleichen Sie die berechnete Schwingungsdauer mit dem Zielwert. Beim Feder-Masse-Pendel gilt \(T=2\pi\sqrt{m/D}\), beim Fadenpendel \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) mit \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\). Achten Sie darauf, welche Größe den Zeiger wirklich bewegt — und welche nicht.
Maus: in die Grafik klicken startet oder stoppt die Bewegung. Tastatur: Grafik anwählen, dann Leertaste für Start/Stopp, ←/→ für die erste Größe (Masse bzw. Länge), ↑/↓ für die Federhärte.
f = 1,59 Hz · Kreisfrequenz = 10,0 1/s
Im Praktikum hängt ein Wagen der Masse \(m=0{,}25\,\mathrm{kg}\) an einer Schraubenfeder. Die Gruppe stoppt nicht eine einzelne Schwingung, sondern 20 volle Schwingungen und erhält dafür \(t_{20}=14{,}0\,\mathrm s\).
a) Berechnen Sie die Periodendauer \(T\).
b) Bestimmen Sie daraus die Federhärte \(D\) der Feder. Stellen Sie dazu \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\) nach \(D\) um.
Vollständige Auflösung
a) Eine einzelne Periode von Hand zu stoppen ist ungenau, weil die Reaktionszeit von etwa \(0{,}2\,\mathrm s\) voll ins Ergebnis eingeht. Bei 20 Perioden verteilt sich derselbe Fehler auf 20 Schwingungen und schrumpft auf ein Zwanzigstel: \(T=\dfrac{t_{20}}{20}=\dfrac{14{,}0\,\mathrm s}{20}=\underline{0{,}70\,\mathrm s}\).
b) Umstellen in drei sauberen Schritten. Erst die \(2\pi\) auf die andere Seite: \(\dfrac{T}{2\pi}=\sqrt{\dfrac mD}\). Dann quadrieren: \(\dfrac{T^2}{4\pi^2}=\dfrac mD\). Zuletzt nach \(D\) auflösen: \(D=\dfrac{4\pi^2\,m}{T^2}\).
Einsetzen: \(D=\dfrac{4\pi^2\cdot 0{,}25\,\mathrm{kg}}{(0{,}70\,\mathrm s)^2}=\dfrac{9{,}87\,\mathrm{kg}}{0{,}49\,\mathrm{s^2}}\approx \underline{20{,}1\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}}\). Die Einheit stimmt: \(\mathrm{kg/s^2}=\mathrm{N/m}\), denn \(1\,\mathrm N=1\,\mathrm{kg\,m/s^2}\).
Plausibilitätsprüfung: Mit \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\) und \(D=20\,\mathrm{N/m}\) liefert das Kapitel \(T=0{,}63\,\mathrm s\). Unser Wagen ist etwas schwerer, also muss \(T\) etwas größer sein — \(0{,}70\,\mathrm s\) passt.
Typischer Fehler: Die Wurzel wird beim Umstellen vergessen und direkt \(D=\dfrac{4\pi^2 m}{T}\) gerechnet. Ergebnis wäre \(14{,}1\,\mathrm{N/m}\) — und die Einheit käme gar nicht auf \(\mathrm{N/m}\) heraus. Zweiter Klassiker: \(t_{20}\) wird als Periodendauer eingesetzt; dann liegt \(D\) um den Faktor \(400\) daneben.
Das Pendel einer Standuhr soll ein Sekundenpendel sein, also die Periodendauer \(T=2{,}00\,\mathrm s\) haben. Rechnen Sie mit \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\).
a) Berechnen Sie die dafür nötige Pendellänge \(l\).
b) Die Uhr geht nach und man misst \(T=2{,}04\,\mathrm s\). Welche Länge hat das Pendel tatsächlich?
c) Um wie viele Zentimeter muss der Faden verändert werden — und in welche Richtung?
Vollständige Auflösung
Umstellen: aus \(T=2\pi\sqrt{\dfrac lg}\) folgt \(l=\dfrac{g\,T^2}{4\pi^2}\).
a) \(l_{\text{soll}}=\dfrac{9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\cdot 4{,}00\,\mathrm{s^2}}{39{,}48}=\dfrac{39{,}24}{39{,}48}\,\mathrm m\approx\underline{0{,}994\,\mathrm m}\). Das ist das im Kapitel genannte Sekundenpendel von rund einem Meter Länge.
b) \(l_{\text{ist}}=\dfrac{9{,}81\cdot 4{,}1616}{39{,}48}\,\mathrm m=\dfrac{40{,}83}{39{,}48}\,\mathrm m\approx\underline{1{,}034\,\mathrm m}\).
c) \(\Delta l=1{,}034\,\mathrm m-0{,}994\,\mathrm m=0{,}040\,\mathrm m=\underline{4{,}0\,\mathrm{cm}}\). Das Pendel ist zu lang und muss um etwa vier Zentimeter verkürzt werden. Merkrichtung: längeres Pendel → größeres \(T\) → die Uhr geht nach.
Blick auf die Größenordnung: Zwei Prozent mehr Zeit entstehen aus vier Prozent mehr Länge, weil \(l\) proportional zu \(T^2\) ist. Ein Millimeter Fadenlänge verstellt eine Standuhr also schon merklich.
Typischer Fehler: \(T\) wird linear behandelt, also \(l\) nur um zwei Prozent (statt um vier Prozent) geändert. Zweiter Fehler: die Masse des Pendelkörpers wird gesucht oder eingesetzt — beim Fadenpendel kürzt sie sich heraus, sie kommt in \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) überhaupt nicht vor.
Messcursor im t-y-Diagramm INTERAKTIV
Zwei senkrechte Cursor lassen sich verschieben. Ziehen Sie sie mit der Maus oder wählen Sie einen Cursor mit Tab an und bewegen Sie ihn mit den Pfeiltasten (mit Umschalt in Zehnerschritten). Die Anzeige nennt beide Zeitpunkte, ihren Abstand und den jeweiligen Momentanwert der Auslenkung. Das Diagramm gehört zu Aufgabe A3.
Die Kurve zeigt die Auslenkung eines schwingenden Körpers. Ein Kästchen der Zeitachse entspricht \(0{,}1\,\mathrm s\), ein Kästchen der y-Achse \(1{,}0\,\mathrm{cm}\).
Cursor 2: t = 0,50 s, y = 3,00 cm
Abstand: 0,40 s
Werten Sie das Weg-Zeit-Diagramm des Messcursor-Prüfstands oben aus. Lesen Sie zuerst ab, rechnen Sie dann weiter.
a) Bestimmen Sie die Amplitude \(\hat y\) (Höhe der Kurve).
b) Bestimmen Sie die Periodendauer \(T\) (Breite einer vollen Schwingung). Nutzen Sie dafür den Cursor-Abstand über drei Schwingungen und teilen Sie durch 3.
c) Berechnen Sie die Frequenz \(f\).
d) Berechnen Sie die Kreisfrequenz \(\omega\).
Vollständige Auflösung
a) Der höchste Punkt der Kurve liegt bei \(+3{,}0\,\mathrm{cm}\), der tiefste bei \(-3{,}0\,\mathrm{cm}\). Die Amplitude misst nur von der Ruhelage bis zum Umkehrpunkt: \(\hat y=\underline{3{,}0\,\mathrm{cm}}\). Der gesamte Hub von Umkehrpunkt zu Umkehrpunkt beträgt \(2\hat y=6{,}0\,\mathrm{cm}\).
b) Setzt man Cursor 1 auf \(t_1=0{,}00\,\mathrm s\) und Cursor 2 auf \(t_2=1{,}20\,\mathrm s\), so liegen dazwischen drei vollständige Schwingungen: \(T=\dfrac{1{,}20\,\mathrm s}{3}=\underline{0{,}40\,\mathrm s}\).
c) \(f=\dfrac1T=\dfrac{1}{0{,}40\,\mathrm s}=\underline{2{,}5\,\mathrm{Hz}}\) — der Körper schwingt zweieinhalbmal pro Sekunde.
d) \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{6{,}283}{0{,}40\,\mathrm s}\approx\underline{15{,}7\,\tfrac1{\mathrm s}}\). Kontrolle über den zweiten Weg: \(\omega=2\pi f=6{,}283\cdot 2{,}5=15{,}7\,\tfrac1{\mathrm s}\).
Typischer Fehler: Die Amplitude wird als Gesamthub \(6{,}0\,\mathrm{cm}\) angegeben — das ist der häufigste Ablesefehler im Diagramm. Ebenso häufig wird \(\omega\) mit \(f\) verwechselt; beide unterscheiden sich um den Faktor \(2\pi\) und haben verschiedene Einheiten (\(\mathrm{Hz}\) gegenüber \(\tfrac1{\mathrm s}\) im Sinne von rad/s). Dritter Klassiker: Als Periodendauer wird nur die Zeit vom Hochpunkt zum Tiefpunkt genommen — das ist bloß eine halbe Schwingung.
Zuordnungs-Prüfstand: Mechanik und Schwingkreis INTERAKTIV
Ziehen ist nicht nötig: Wählen Sie zuerst einen Begriff aus der Ablage (Klick oder Tab und Enter), dann das passende Feld rechts. Ein Klick auf ein gefülltes Feld legt den Begriff zurück in die Ablage. Diese Zuordnung ist Teilaufgabe a) von A10.
Reflexion — bevor Sie weiterarbeiten
Drei Fragen zum Nachdenken — beantworten Sie sie für sich selbst.
- 1. Umstellen:Vier Aufgaben (A1, A2, A8, A9) verlangten, eine Wurzelformel nach einer Größe unter der Wurzel aufzulösen. Können Sie den Dreischritt „durch \(2\pi\) teilen — quadrieren — auflösen“ inzwischen ohne Vorlage?
- 2. Einheiten:Bei welcher Aufgabe hätte eine nicht umgerechnete Einheit (Gramm statt Kilogramm, Millihenry statt Henry, Millisekunde statt Sekunde) Ihr Ergebnis um Zehnerpotenzen verschoben? Welche Plausibilitätsprüfung hätte das sofort verraten?
- 3. Begründen:A6 d) verlangte keine Rechnung, sondern eine Begründung. Können Sie in eigenen Worten sagen, warum die Amplitude in keiner der drei Schwingungsdauer-Formeln vorkommt?