1
Die Schwingungsdauer des Fadenpendels
Die Schwingungsdauer
Beim Fadenpendel treibt ein Teil der Gewichtskraft die Kugel zurück. Für kleine Winkel führt das auf die Formel des Federpendels:
Herleitung:
- Rückstellkraft:die Komponente der Gewichtskraft längs der Bahn: \(F=-m\,g\cdot\sin\alpha\)
- Kleine Winkel:\(\sin\alpha\approx\alpha=\dfrac{s}{l}\) (Bogenmaß, Bogen \(s\))
\(F=-\dfrac{m\,g}{l}\cdot s\)
| \(D\) ablesen
Lineares Kraftgesetz — wie bei der Feder, mit \(D=\tfrac{m\,g}{l}\).
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\dfrac{m\,l}{m\,g}}\)
| kürzen
Die Formel des Federpendels mit diesem \(D\).
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)
Ergebnis
Die Masse kürzt sich heraus — schwere und leichte Kugeln schwingen gleich schnell.
Merke
Schwingungsdauer des Fadenpendels:
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)
Rückstellkraft: Beim Fadenpendel wirkt die Komponente der Gewichtskraft längs der Bahn zurück: \(F=-m\,g\cdot\sin\alpha\).
Kleine Winkel: Dann gilt \(\sin\alpha\approx\alpha=\dfrac{s}{l}\).
Unabhängigkeit: \(T\) hängt weder von der Masse noch von der Amplitude ab.
2
Fadenpendel erkunden
Das Pendel schwingt, die Schwingungsdauer wird mit \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) berechnet (g = 9,81 m/s²).
Überraschend: Die Schwingungsdauer hängt nur von der Länge ab — nicht von der Masse des Pendelkörpers. Ein längeres Pendel schwingt langsamer.
- Keine Masse:schwere und leichte Kugeln gleicher Fadenlänge schwingen gleich schnell.
- Keine Amplitude:ob 5° oder 10° ausgelenkt — \(T\) bleibt praktisch gleich.
3
Allgemeine Hinweise
Länge bis zur Kugelmitte
l wird vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt der Kugel gemessen, nicht nur der Faden.
Wurzel
Vierfache Länge = doppelte Schwingungsdauer.
Kleine Winkel
Die Formel gilt nur für kleine Auslenkungen (bis ca. 10°).