Die De-Broglie-Wellenlänge

Die De-Broglie-Gleichung

Die Formel von de Broglie

Wenn Elektronen eine Wellenlänge haben — wie groß ist sie? Die Antwort gab Louis de Broglie 1924.

Idee:jedem Teilchen mit Impuls \(p=m\cdot v\) (Mechanik Kl. 11) gehört eine Wellenlänge \(\lambda\).
Wirkungsquantum:die Naturkonstante \(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\) verknüpft Teilchen- und Wellengröße.
Antiproportional:doppelte Geschwindigkeit → halbe Wellenlänge; das erklärt die engeren Ringe bei schnelleren Elektronen.
Makroskopisch:ein Tennisball hat \(\lambda\sim10^{-34}\,\mathrm m\) — nie messbar. Wellenverhalten zeigt sich nur bei winzigen Massen.

Merke

De-Broglie-Wellenlänge:

\(\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}\)

Idee: Jedem Teilchen mit dem Impuls \(p=m\cdot v\) gehört eine Wellenlänge \(\lambda\); das Wirkungsquantum \(h\) verknüpft Teilchen- und Wellengröße.

Folgerungen: Doppelte Geschwindigkeit ergibt halbe Wellenlänge; außerdem gilt \(\lambda\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\), passend zur Messung \(r\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\).

Makroskopisch: Wellenverhalten zeigt sich nur bei winzigen Massen; die Wellenlänge eines Tennisballs ist nie messbar.

Die Materiewelle eines Elektrons wird kurzwelliger, je höher seine Geschwindigkeit ist — \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\) nimmt ab. Verdoppelt man v, halbiert sich λ.

Geschwindigkeit v (10⁶ m/s)

Jedem Teilchen mit Impuls p gehört eine Wellenlänge \(\lambda=h/p\). Je schneller das Elektron, desto größer sein Impuls und desto kleiner seine Wellenlänge: λ und v sind antiproportional.

Wellenlänge aus der Beschleunigungsspannung

Formelzeichen:Energie heißt W, weil E die elektrische Feldstärke ist.

Herleitung:

\(e\,U=\tfrac12\,m\,v^{2}\)

| · \(2m\)

Das Feld überträgt \(W=e\,U\); alles wird Bewegungsenergie.

\(m^{2}v^{2}=2\,m\,e\,U\)

| \(\sqrt{\phantom{x}}\)

Beide Seiten mit \(2m\) multipliziert.

\(m\,v=\sqrt{2\,m\,e\,U}\)

| in \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\)

Das ist der Impuls \(p\).

\(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,U}}\)

Ergebnis

\(\lambda\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\) — genau wie die Messung.

Bestätigung:\(\lambda\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\) — genau die Messung \(r\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\).

Merke

Wellenlänge nach der Beschleunigung:

\(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,U}}\)

Allgemeine Hinweise

Spannung gegeben?

Erst \(e\cdot U=\tfrac12 m\,v^2\) nach \(v\) auflösen, dann \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\) — oder direkt \(\lambda=\tfrac{h}{\sqrt{2meU}}\).