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Kreisbahnen im Magnetfeld

Steht die Geschwindigkeit senkrecht zum Feld, zeigt die Lorentzkraft immer zur Mitte — das Teilchen läuft auf einer Kreisbahn.

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Kreisbahnen

Lorentzkraft als Zentripetalkraft

Die Lorentzkraft ändert nur die Richtung, nie den Betrag von \(v\). Eine Kraft mit festem Betrag, die immer quer zur Bewegung zeigt, zwingt das Teilchen auf einen Kreis.

  • Voraussetzung:\(v\perp B\) — dann ist \(F=q\,v\,B\) und zeigt stets zur Bahnmitte.
  • Zentripetalkraft:aus der Kreisbewegung (Mechanik) gilt \(F_Z=\dfrac{m\,v^{2}}{r}\); die Lorentzkraft übernimmt diese Rolle.

Herleitung:

\(q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{r}\)
| · \(r\)
Die Lorentzkraft übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft.
\(q\,v\,B\,r=m\,v^{2}\)
| : \(q\,v\,B\)
Beide Seiten mit dem Radius multiplizieren.
\(r=\dfrac{m\,v}{q\,B}\)
Ergebnis
Mehr Tempo vergrößert, ein stärkeres Feld verkleinert den Kreis.
  • Folgerung:mehr Tempo vergrößert, ein stärkeres Feld verkleinert den Kreis.
Merke

Bahnradius:

\(r=\dfrac{m\,v}{q\,B}\)

Ursache: Die Lorentzkraft ändert nur die Richtung, nie den Betrag von \(v\). Bei \(v\perp B\) wirkt sie als Zentripetalkraft und zwingt das Teilchen auf eine Kreisbahn.

Folgerung: Mehr Tempo vergrößert, ein stärkeres Feld verkleinert den Kreis.

Umlaufzeit: Sie ist unabhängig von \(v\): Schnelle Teilchen laufen auf größeren Kreisen und brauchen genauso lange.

Kreisbahn im Magnetfeld

Ein Elektron fliegt senkrecht in ein Feld, das in die Ebene zeigt. Verändere v und B und beobachte den Radius.

×××××××××××××××××××××××××××××××××××B +
v
2·10⁷ m/s
B
20 mT
Radius r
1,1 cm
2

Die Umlaufzeit

Herleitung:

\(T=\dfrac{2\pi r}{v}\)
| \(r\) einsetzen
Ein Umlauf ist \(2\pi r\) lang.
\(T=\dfrac{2\pi\,m\,v}{q\,B\,v}\)
| kürzen
Der Bahnradius von oben eingesetzt.
\(T=\dfrac{2\pi\,m}{q\,B}\)
Ergebnis
Die Geschwindigkeit kürzt sich heraus.
  • Folgerung:schnelle Teilchen laufen auf größeren Kreisen und brauchen genauso lange.
Merke

Umlaufzeit:

\(T=\dfrac{2\pi m}{q\,B}\)

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Allgemeine Hinweise

Keine zusätzliche Kraft

Die Zentripetalkraft ist keine eigene Kraft, sondern die Rolle, die die Lorentzkraft hier spielt. Nicht beide addieren!

v aus der Beschleunigung

Ist statt \(v\) die Beschleunigungsspannung gegeben, erst \(q\,U=\tfrac12 m v^{2}\) nach \(v\) auflösen.

Radius, nicht Durchmesser

Am Schirm oder in der Fotografie misst man oft den Durchmesser — für \(r\) halbieren.

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