Vom Zufall zum Gesetz
Der einzelne Kern würfelt — die Menge gehorcht
Ein radioaktiver Kern zerfällt zufällig wie ein Würfelwurf: Für ein festes Zeitintervall gibt es nur eine Wahrscheinlichkeit \(p\) für seinen Zerfall.
- Einzelner Kern:Zufall ohne Gedächtnis — ein alter Kern zerfällt nicht eher als ein junger; Druck, Temperatur, chemische Bindung ändern \(p\) nicht.
- Viele Kerne:Von \(N\) Kernen zerfallen im nächsten Zeitschritt im Mittel \(p\cdot N\). Bei \(N\sim 10^{20}\) Kernen sind die relativen Schwankungen winzig — die Abnahme wird exakt vorhersagbar.
- Folge:In jedem Zeitschritt verschwindet derselbe Anteil \(p\) des Bestands — das ist genau das Rezept für eine exponentielle Abnahme.
Im Applet „würfeln“ 400 Kerne in jedem Schritt. Beobachte, wie aus Zufall eine glatte Kurve wird — und wie sie bei wenigen Kernen zerfranst.
Jeder Punkt ist ein Atomkern. Pro Zeitschritt zerfällt jeder Kern mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) (Regler). Rechts wächst live das Diagramm der übrigen Kerne — mit der theoretischen Kurve \(N_0\cdot(1-p)^k\) als Überlagerung und der Halbwertszeit-Linie bei \(N_0/2\). Im Modus „echte Zeit“ zeigt sich dieselbe Physik als e-Funktion mit der Zeitachse in Halbwertszeiten.
Das Zerfallsgesetz und die Halbwertszeit
Die Simulation zeigt: Nach einer festen Zeitspanne ist immer die Hälfte des Bestands übrig — egal, wie viele Kerne es gerade sind.
- Halbwertszeit:\(T_{1/2}\) ist die Zeit, nach der die Hälfte der Kerne zerfallen ist.
- Halbieren:nach \(n=t/T_{1/2}\) Halbwertszeiten ist der Faktor \(\left(\tfrac12\right)^{n}\) übrig.
- e-Form:mit \(\tfrac12=e^{-\ln 2}\) (Mathematik) wird daraus \(N_0\cdot e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\cdot t}\).
- Zerfallskonstante:\(\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\) ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (z. B. in \(\mathrm{s}^{-1}\)), für jedes Nuklid fest.
Zerfallsgesetz:
\(N(t)=N_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=N_0\cdot e^{-\lambda t}\qquad \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\)
Zufall und Gesetz: Ein einzelner Kern zerfällt zufällig und ohne Gedächtnis. Bei vielen Kernen zerfällt in jedem Zeitschritt derselbe Anteil, daher nimmt der Bestand exponentiell ab.
Halbwertszeit: \(T_{1/2}\) ist die Zeit, nach der die Hälfte der Kerne zerfallen ist; nach \(n=t/T_{1/2}\) Halbwertszeiten ist der Faktor \(\left(\tfrac12\right)^{n}\) übrig. \(\lambda\) ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit.
Aktivität: Sie gibt die Zerfälle pro Sekunde an. Für \(A\) in Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\) stehen; großes \(\lambda\) bedeutet kurze Halbwertszeit und hohe Aktivität.
| Nuklid | \(T_{1/2}\) | Wofür bekannt? |
|---|---|---|
| \({}^{99m}\mathrm{Tc}\) | \(6{,}0\,\mathrm{h}\) | Nuklearmedizin (Szintigrafie) |
| \({}^{131}\mathrm{I}\) | \(8{,}0\,\mathrm{d}\) | Schilddrüsentherapie |
| \({}^{222}\mathrm{Rn}\) | \(3{,}8\,\mathrm{d}\) | Radon in Kellerräumen |
| \({}^{137}\mathrm{Cs}\) | \(30{,}2\,\mathrm{a}\) | Reaktorunfälle |
| \({}^{14}\mathrm{C}\) | \(5730\,\mathrm{a}\) | Altersbestimmung (C-14-Methode) |
| \({}^{238}\mathrm{U}\) | \(4{,}5\cdot 10^{9}\,\mathrm{a}\) | Erdalter, Zerfallsreihe |
Aktivität — das Tempo des Zerfalls
Das Zählrohr misst nicht, wie viele Kerne noch da sind, sondern wie viele pro Sekunde zerfallen: die Aktivität \(A\).
Herleitung:
Aktivität:
\(A=\lambda\cdot N \qquad A(t)=A_0\cdot e^{-\lambda t}\)
Becquerel
- Größenordnungen:Eine Banane hat durch ihr Kalium-40 etwa \(15\,\mathrm{Bq}\), der menschliche Körper rund \(9000\,\mathrm{Bq}\) — Becquerel sind eine sehr „kleine“ Einheit, deshalb tauchen oft kBq und MBq auf.
- Doppelrolle von \(\lambda\):Großes \(\lambda\) bedeutet kurze Halbwertszeit und hohe Aktivität bei gleicher Kernzahl — kurzlebige Nuklide strahlen heftig, aber kurz.
- Achtung Einheiten:Für \(A\) in Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\) stehen — Halbwertszeiten also erst in Sekunden umrechnen (\(1\,\mathrm{a}\approx 3{,}15\cdot 10^{7}\,\mathrm{s}\)).
Allgemeine Hinweise
Erst in T½ denken
Prüfe zuerst, ob \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist — dann reicht wiederholtes Halbieren, ganz ohne e-Funktion.
Einheiten-Duo λ und t
\(\lambda\) und \(t\) müssen zur selben Zeiteinheit gehören: \(\lambda\) in \(\mathrm{a}^{-1}\) → \(t\) in Jahren; für Bq brauchst du \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\).
Taschenrechner-Falle
\(e^{-\lambda t}\): Minuszeichen nicht vergessen und den Exponenten komplett klammern: e^(−λ·t). Kontrolle: Das Ergebnis muss kleiner als \(N_0\) sein.