Was bestimmt C?
Die Kapazität ist eine Eigenschaft des Bauteils. Beim Plattenkondensator lässt sie sich aus seinem Aufbau vorhersagen.
- Plattenfläche A:die Fläche, mit der sich die beiden Platten gegenüberstehen.
- Plattenabstand d:der Abstand zwischen den beiden Platten.
- Dielektrikum:der Isolator zwischen den Platten – zuerst Luft.
- Vermutung:größere Platten bieten mehr Platz für Ladung; näher beieinander ziehen sich die Ladungen stärker an.
Bauform: Die Kapazität eines Plattenkondensators hängt von der Plattenfläche \(A\), dem Plattenabstand \(d\) und dem Dielektrikum ab – nicht von \(Q\) oder \(U\).
Fläche und Abstand variieren
Man lädt einen Plattenkondensator immer mit derselben Spannung und misst die Ladung. Weil \(U\) fest ist, gilt: Wächst \(Q\), wächst auch \(C=\dfrac{Q}{U}\).
- Aufbau:Plattenkondensator mit verschiebbaren Platten, Netzgerät mit \(U=200\,\mathrm V\), Umschalter und Messverstärker.
- Teil 1:Abstand fest (\(d=2{,}0\,\mathrm{mm}\)), wirksame Plattenfläche \(A\) schrittweise vergrößern; jedes Mal laden und messen.
- Teil 2:Fläche fest (\(A=400\,\mathrm{cm^2}\)), Plattenabstand \(d\) von 1 mm bis 5 mm ändern; jedes Mal laden und messen.
- Nur eine Größe:immer nur eine Größe ändern, die andere festhalten – sonst lässt sich die Wirkung nicht zuordnen.
Führe beide Messreihen durch. Im Diagramm wird \(Q\) gegen \(A\) bzw. gegen \(\dfrac{1}{d}\) aufgetragen.
Luft zwischen den Platten, ohne Randeffekte; die Messwerte schwanken leicht wie bei einer echten Messung.
- Teil 1:doppelte Fläche, doppelte Ladung – die Punkte im Q-A-Diagramm liegen auf einer Ursprungsgeraden: \(C\sim A\).
- Teil 2:halber Abstand, doppelte Ladung. Gegen \(d\) aufgetragen ergibt sich eine Hyperbel, gegen \(\dfrac{1}{d}\) eine Ursprungsgerade: \(C\sim\dfrac{1}{d}\).
- Zusammen:beide Zusammenhänge gelten gleichzeitig: \(C\sim\dfrac{A}{d}\).
Plattenkondensator: Die Kapazität ist proportional zur Plattenfläche und umgekehrt proportional zum Plattenabstand:
\(C\sim A\), \(C\sim\dfrac{1}{d}\), also \(C\sim\dfrac{A}{d}\)
Die elektrische Feldkonstante
Aus \(C\sim\dfrac{A}{d}\) wird eine Gleichung, sobald man den Proportionalitätsfaktor kennt. Er lässt sich aus einem einzigen Messwert bestimmen.
- Ansatz:\(C=\varepsilon_0\cdot\dfrac{A}{d}\), umgestellt \(\varepsilon_0=\dfrac{C\cdot d}{A}\).
- Feldkonstante:\(\varepsilon_0\) heißt elektrische Feldkonstante (auch Permittivität des Vakuums); sie ist eine Naturkonstante.
- Luft:verhält sich fast genau wie Vakuum, die Gleichung gilt also auch mit Luft zwischen den Platten.
Messwert aus Teil 1: \(A=400\,\mathrm{cm^2}=0{,}040\,\mathrm{m^2}\), \(d=2{,}0\,\mathrm{mm}=2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m\), \(U=200\,\mathrm V\), \(Q=35{,}4\,\mathrm{nC}\).
\(C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{35{,}4\cdot10^{-9}\,\mathrm C}{200\,\mathrm V}=1{,}77\cdot10^{-10}\,\mathrm F\)
\(\varepsilon_0=\dfrac{C\cdot d}{A}=\dfrac{1{,}77\cdot10^{-10}\,\mathrm F\cdot2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m}{0{,}040\,\mathrm{m^2}}\approx8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\mathrm F}{\mathrm m}\)
Plattenkondensator (Vakuum, Luft):
\(C=\varepsilon_0\,\dfrac{A}{d}\)
Feldkonstante: \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\mathrm F}{\mathrm m}\)
Was das Dielektrikum bewirkt
Man lädt einen Plattenkondensator, trennt ihn von der Quelle (\(Q\) bleibt gleich) und schiebt eine Glasplatte zwischen die Platten. Die gemessene Spannung sinkt – nach \(C=\dfrac{Q}{U}\) ist die Kapazität also gestiegen.
- Polarisation:im Feld verschieben sich die Ladungen in den Teilchen des Isolators; jedes Teilchen wird zum Dipol (ein Ende negativ, das andere positiv).
- Gegenfeld:an den Oberflächen des Isolators bleiben Ladungsschichten übrig, die dem Feld der Platten entgegenwirken – das Feld und damit \(U\) werden kleiner.
- Dielektrizitätszahl:\(\varepsilon_r\) (auch relative Permittivität) gibt an, um welchen Faktor \(C\) mit dem Dielektrikum steigt; sie hat keine Einheit.
- Unpolare Stoffe:die Elektronenhülle wird gegen den Kern verschoben (Verschiebungspolarisation); kleines \(\varepsilon_r\), z. B. Luft, Kunststoffe, Glas.
- Polare Stoffe:die Moleküle sind schon Dipole und drehen sich ins Feld (Orientierungspolarisation); großes \(\varepsilon_r\), z. B. Wasser.
- Keramiken:spezielle Keramiken wie Bariumtitanat erreichen \(\varepsilon_r\) von über 1000 – daher die kleinen Keramikkondensatoren mit großer Kapazität.
- Durchschlag:ein gutes Dielektrikum hält auch bei sehr kleinem Abstand hohe Feldstärken aus, ohne dass ein Funke überspringt (Durchschlagfestigkeit) – so werden kleine \(d\) möglich.
| Stoff | \(\varepsilon_r\) | Einsatz |
|---|---|---|
| Vakuum | 1 (exakt) | Bezugswert |
| Luft | 1,0006 ≈ 1 | Plattenkondensator |
| Kunststofffolie | 2 bis 3 | Folienkondensator |
| Papier | ≈ 2,3 | ältere Kondensatoren |
| Glas | 5 bis 10 | Experimente |
| Aluminiumoxid | ≈ 9 | Elektrolytkondensator |
| Wasser | ≈ 81 | – |
| Bariumtitanat | 1000 bis 10 000 | Keramikkondensator |
Dielektrikum: Es wird polarisiert und schwächt das Feld; \(C\) steigt um den Faktor \(\varepsilon_r\) (Dielektrizitätszahl, ohne Einheit).
\(C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}\)
Kapazität berechnen
Mit \(C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}\) und \(Q=C\cdot U\) lassen sich Kapazität und Ladung eines Plattenkondensators vorhersagen.
Ein Plattenkondensator hat quadratische Platten mit 20 cm Kantenlänge im Abstand 2,0 mm und liegt an 200 V.
Gegeben: \(A=(0{,}20\,\mathrm m)^2=0{,}040\,\mathrm{m^2}\), \(d=2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m\), \(U=200\,\mathrm V\)
Mit Luft: \(C=\varepsilon_0\,\dfrac{A}{d}\) \(=8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\mathrm F}{\mathrm m}\cdot\dfrac{0{,}040\,\mathrm{m^2}}{2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m}\) \(\approx 1{,}8\cdot10^{-10}\,\mathrm F=180\,\mathrm{pF}\)
Ladung: \(Q=C\cdot U\) \(=1{,}77\cdot10^{-10}\,\mathrm F\cdot 200\,\mathrm V\) \(\approx 3{,}5\cdot10^{-8}\,\mathrm C=35\,\mathrm{nC}\)
Mit Glas (\(\varepsilon_r=6\)) wird alles sechsmal so groß: \(C\approx 1{,}1\,\mathrm{nF}\), \(Q\approx 210\,\mathrm{nC}\).
Die Formel \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}\) enthält drei Stellschrauben, die unterschiedlich stark auf die Kapazität wirken.
Ohne Randeffekte, nicht maßstäblich. Die Fläche bringt über den ganzen Regler nur Faktor 16, der Abstand wirkt stärker.
Plattenkondensator: \(C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}\) und \(Q=C\cdot U\); der Abstand wirkt wie die Fläche linear, aber umgekehrt.
Bauformen von Kondensatoren
Alle Kondensatoren folgen demselben Prinzip. Sie unterscheiden sich darin, wie sie viel Fläche, einen kleinen Abstand und ein gutes Dielektrikum auf engem Raum unterbringen.
Plattenkondensator
- Aufbau
- zwei parallele Metallplatten
- Dielektrikum
- meist Luft
- Kapazität
- pF bis nF
- Einsatz
- Experimente, Modell für alle anderen
Drehkondensator
- Aufbau
- Plattenpakete greifen ineinander; Drehen ändert die wirksame Fläche
- Dielektrikum
- Luft
- Kapazität
- 10 pF bis 500 pF, einstellbar
- Einsatz
- Sender einstellen im Radio
Keramikkondensator
- Aufbau
- Scheibe oder viele hauchdünne Schichten übereinander
- Dielektrikum
- Keramik mit sehr großem \(\varepsilon_r\)
- Kapazität
- 1 pF bis 100 µF
- Einsatz
- Hunderte in jedem Smartphone
Folienkondensator
- Aufbau
- zwei Metallfolien mit Kunststofffolie dazwischen, aufgewickelt
- Dielektrikum
- Kunststofffolie
- Kapazität
- 1 nF bis 100 µF
- Einsatz
- Netzteile, Lautsprecherweichen
Elektrolytkondensator
- Aufbau
- Aluminiumfolie mit hauchdünner Oxidschicht, darauf eine leitende Flüssigkeit (Elektrolyt)
- Dielektrikum
- Oxidschicht, nur Millionstel Millimeter dick
- Kapazität
- 0,1 µF bis 100 mF
- Einsatz
- Netzteile; gepolt – falsch herum angeschlossen wird er zerstört
Superkondensator
- Aufbau
- poröser Kohlenstoff mit riesiger innerer Oberfläche, Ladungsschicht nur wenige Atome dick
- Dielektrikum
- Elektrolyt-Grenzschicht
- Kapazität
- 0,1 F bis 3000 F
- Einsatz
- Energiespeicher in Bussen, Notstrom
- Als Sensor:ändert sich \(A\), \(d\) oder das Dielektrikum, ändert sich die gespeicherte Ladung – das nutzen Touchscreens (Finger), Kondensatormikrofone (schwingende Platte) und Füllstandsmesser.
Bauformen: Fläche, kleiner Abstand und gutes Dielektrikum bestimmen die Kapazität; Sensoren nutzen Änderungen von \(A\), \(d\) oder Dielektrikum.
Allgemeine Hinweise
C ändert sich nicht mit U
In \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\tfrac{A}{d}\) kommen weder Spannung noch Ladung vor. Mehr Spannung speichert mehr Ladung, aber \(C\) bleibt gleich.
Bei Flächen zählt 100 zweimal
\(250\,\mathrm{cm^2}=0{,}025\,\mathrm{m^2}\), denn bei Flächen wirkt der Faktor 100 zweimal. Auch \(0{,}20\,\mathrm{mm}=2{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}\) muss vor dem Einsetzen stimmen.
Größenordnung gegenprüfen
Übliche Bauteile liegen zwischen pF und mF. Kommen für einen Plattenkondensator aus der Schule mehrere Farad heraus, steckt fast immer ein Umrechnungsfehler in \(A\) oder \(d\).