Warum ausgerechnet eine Exponentialfunktion?
Vor jeder Regression steht die Frage: Welcher Funktionstyp passt zur Messreihe? Ein hohes Bestimmtheitsmaß allein genügt nicht — die Wahl muss begründet werden.
- Physikalisch:Je weniger Ladung noch da ist, desto kleiner der Strom, der sie abbaut — Änderung proportional zum Bestand → e-Funktion.
- Quotiententest:gleiche Zeitschritte → gleiche Quotienten (bei einer Geraden: gleiche Differenzen).
- Grenzverhalten:\(U\) nähert sich null, wird aber nie negativ.
| \(t\) in s | \(U\) in V | Differenz zum Vorwert | Quotient zum Vorwert |
|---|---|---|---|
| 0 | 10,0 | — | — |
| 2 | 6,5 | −3,5 V | 0,65 |
| 4 | 4,3 | −2,2 V | 0,66 |
| 6 | 2,8 | −1,5 V | 0,65 |
| 8 | 1,8 | −1,0 V | 0,64 |
| 10 | 1,2 | −0,6 V | 0,67 |
Die Differenzen schrumpfen, die Quotienten bleiben bei etwa 0,65: Alle zwei Sekunden bleiben rund 65 % übrig — typisch für eine Exponentialfunktion.
- Gerade:nach etwa 17 s negative Spannung — unmöglich.
- Parabel:hinter dem Scheitel stiege \(U\) wieder — ohne Nachladen unmöglich.
- e-Funktion:nähert sich der Zeitachse, bleibt positiv — wie beobachtet.
Regression begründen: Die Wahl des Funktionstyps muss begründet werden, ein hohes \(r^2\) allein genügt nicht.
Exponentialfunktion: Physikalisch: Die Änderung ist proportional zum Bestand. Quotiententest: Bei gleichen Zeitschritten sind die Quotienten gleich (bei einer Geraden die Differenzen). Grenzverhalten: \(U\) nähert sich null, wird aber nie negativ.
Ausschluss: Eine Gerade ergäbe negative Spannung, eine Parabel stiege wieder an; beides ist unmöglich.
Warum man die Kurve linearisiert
Aus einer gekrümmten Kurve lässt sich \(\tau\) nur schätzen, aus einer Geraden eindeutig ablesen. Deshalb trägt man \(\ln U\) über \(t\) auf.
- Keine feste Steigung:die Exponentialkurve ändert ihre Steigung überall.
- Ausgleich von Hand schwierig:durch gekrümmte Punkte keine Ausgleichslinie mit dem Lineal.
- τ steckt im Exponenten:\(\tau\) bestimmt nur die Krümmung — im Rohdiagramm nicht ablesbar.
Linearisieren: Aus einer gekrümmten Kurve lässt sich \(\tau\) nur schätzen, aus einer Geraden eindeutig ablesen; deshalb trägt man \(\ln U\) über \(t\) auf.
Warum: Die Exponentialkurve hat keine feste Steigung, lässt sich von Hand schlecht ausgleichen, und \(\tau\) steckt im Exponenten.
Vom Exponentialgesetz zur Geraden
Logarithmiert man die Entladegleichung, wird aus der Kurve eine Gerade:
Herleitung:
- Widerstand:\(R=\dfrac{\tau}{C}\)
Linearisierung
Linearisierung: Logarithmieren macht aus der Entladekurve eine Gerade \(y=b+m\,t\):
\(\ln U=\ln U_0-\dfrac{1}{RC}\,t\)
Zeitkonstante: Aus der Steigung \(m=-\dfrac{1}{\tau}\) folgt \(\tau=R\,C=-\dfrac{1}{m}\) und \(R=\dfrac{\tau}{C}\).
So arbeitet LinReg: Die beste Gerade hat die kleinste Summe der quadrierten senkrechten Abstände. Lege sie selbst.
Die Fehlerquadratsumme unten sagt, wie gut die Gerade zu den Messpunkten passt — kleiner ist besser. „Beste Gerade“ liefert den Wert, den auch der GTR berechnet.
Die Fehlerquadratsumme reagiert empfindlich auf die Steigung — genau die gesuchte Größe. In der Ansicht \(U\) über \(t\) erscheint dieselbe Gerade als e-Kurve.
Am GTR zur Zeitkonstante und zum Widerstand
Der Taschenrechner bildet die Logarithmen und legt die Ausgleichsgerade durch alle Punkte zugleich — man muss ihm nur die richtigen Listen übergeben.
- Messwerte eingeben: Zeiten in Liste L1, Spannungen in L2.
- Neue Liste bilden: L3 = ln(L2).
- Lineare Regression auf L1, L3 ausführen (LinReg / lineare Anpassung).
- Die Steigung \(m\) ablesen — hier \(m\approx-0{,}21\,\tfrac{1}{\mathrm s}\).
- Zeitkonstante: \(\tau=-\dfrac{1}{m}\approx4{,}7\,\mathrm s\); dann \(R=\dfrac{\tau}{C}\).
GTR-Ablauf: Zeiten in L1, Spannungen in L2 eingeben, \(\mathrm{L3}=\ln(\mathrm{L2})\) bilden und lineare Regression auf L1, L3 ausführen.
Auswertung: Aus der Steigung \(m\) folgt \(\tau=-\dfrac{1}{m}\), dann \(R=\dfrac{\tau}{C}\).
Denselben Versuch umgekehrt lesen: die Kapazität bestimmen
Meist ist \(R\) genau bekannt (±1 %), ein Elko dagegen nur auf ±20 %. Dann liefert derselbe Versuch die Kapazität \(C=\dfrac{\tau}{R}\).
Herleitung:
- Ablesen:Halbwertszeit \(t_{1/2}\) am Diagramm ablesen.
Kapazität aus der Entladekurve
Zwei Leserichtungen: Die Entladekurve liefert nur das Produkt \(\tau=R\cdot C\); das zuverlässigere Bauteil muss bekannt sein.
Kapazität: Ist \(R\) genau bekannt, folgt \(C\) aus der Kurve: \(\tau=\dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\) und:
\(C=\dfrac{\tau}{R}\)
Die geflossene Ladung aus dem I-t-Diagramm
Bei konstantem Strom ist \(Q=I\cdot t\) die Rechteckfläche unter der \(I\)-\(t\)-Linie. Beim Kondensator fällt \(I\) — die Ladung bleibt die Fläche unter der Kurve.
Näherung: Fläche in schmale Streifen zerlegen; jeder Streifen ist ein Trapez (Mittelwert der Randströme mal Breite).
Oben die Streifenmethode, unten die Gesamtladung als Kontrolle. \(1\,\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm s=1\,\mathrm{mC}\).
Geflossene Ladung: Bei veränderlichem Strom ist \(Q\) die Fläche unter der I-t-Kurve, nicht \(I\cdot t\).
Näherung: Streifenmethode: \(Q\approx\sum_i\dfrac{I_i+I_{i+1}}{2}\cdot\Delta t\).
Kontrolle: Die Ladung darf \(C\cdot U_0\) nie überschreiten; \(1\,\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm s=1\,\mathrm{mC}\).
Streifenbreite und Endzeitpunkt sind wählbar; der exakte Wert wird mitgerechnet.
Aufladekurve für \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\), \(C=1000\,\mu\mathrm F\), \(U_0=10\,\mathrm V\). Die Streifensumme nähert den exakten Flächeninhalt unter der Kurve an.
Die Streifensumme liegt immer etwas über dem exakten Wert; halbe Streifenbreite viertelt ungefähr die Abweichung. Die 10 mC aus \(C\cdot U_0\) werden nie ganz erreicht.
Allgemeine Hinweise
Diese Fehler liefern trotzdem schöne Geraden — nur eine Plausibilitätskontrolle deckt sie auf.
\(\lg U\) statt \(\ln U\)
Wird der Zehnerlogarithmus aufgetragen, ist die Steigung um \(\ln 10\approx2{,}30\) zu klein — \(\tau\) und \(R\) also um denselben Faktor zu groß. Die Punkte liegen trotzdem exakt auf einer Geraden; nur der Vergleich mit dem Bauteil-Aufdruck verrät den Fehler.
Kapazität in \(\mu\mathrm F\)
\(C\) muss in Farad eingesetzt werden, hier \(1000\,\mu\mathrm F=0{,}001\,\mathrm F\). Sonst liegt \(R\) um \(10^{6}\) daneben. Einheitenprobe: \(1\,\Omega\cdot1\,\mathrm F=1\,\mathrm s\).
Die Steigung sauber ablesen
Das Steigungsdreieck sollte mindestens die halbe Messdauer überspannen, hier also rund fünf Sekunden. Und das Minuszeichen in \(\tau=-\dfrac{1}{m}\) nicht vergessen — eine negative Zeitkonstante ist unmöglich.