Der waagerechte Wurf als Vorbild
Ein Elektron fliegt quer in ein homogenes Feld. Es bewegt sich wie ein waagerecht geworfener Stein — man zerlegt die Bewegung in zwei Richtungen.
- In Flugrichtung:keine Kraft → gleichförmig: \(x=v_0\,t\)
- Quer dazu:konstante Kraft \(F=e\,E\) mit \(E=\dfrac{U_A}{d}\) → gleichmäßig beschleunigt: \(y=\tfrac12\,a\,t^{2}\). \(U_A\) heißt Ablenkspannung.
- Beschleunigung:\(a=\dfrac{e\,E}{m}=\dfrac{e\,U_A}{m\,d}\)
- Richtung:das Elektron wird zur Plusplatte abgelenkt.
- Unabhängigkeit:beide Bewegungen stören sich nicht, sie teilen nur die Zeit \(t\).
Zerlegung: Im Querfeld bewegt sich das Elektron wie beim waagerechten Wurf; beide Richtungen sind unabhängig und teilen nur die Zeit \(t\).
Flugrichtung: Keine Kraft, also gleichförmig: \(x=v_0\,t\).
Quer: Konstante Kraft \(F=e\,E\) mit \(E=\dfrac{U_A}{d}\), also gleichmäßig beschleunigt: \(y=\tfrac12\,a\,t^{2}\) mit \(a=\dfrac{e\,U_A}{m\,d}\); das Elektron wird zur Plusplatte abgelenkt.
Warum eine Parabel entsteht
\(x\) und \(y\) hängen beide von \(t\) ab. Wirft man \(t\) hinaus, bleibt eine Gleichung für die Bahn.
Herleitung:
Parabel: Eliminiert man \(t\), bleibt die Bahngleichung: Die Bahn ist eine Parabel.
\(y=\dfrac{a}{2\,v_0^{2}}\,x^{2}\)
Halbe Flugzeit: Nach der halben Flugzeit ist erst die halbe Strecke zurückgelegt, aber nur ein Viertel der Ablenkung erreicht.
Eine Uhr, drei Ansichten: oben nur die x-Bewegung, links nur die y-Bewegung, in der Mitte die Bahn. Der Schieber stellt die Zeit ein.
Der obere Punkt rückt gleichmäßig weiter, während der linke Punkt immer größere Sprünge macht.
Startpunkt: Beide Teilbewegungen beginnen gleichzeitig bei null.
Halte fest: Nach der halben Flugzeit: halbe Strecke, aber erst ein Viertel der Ablenkung — deshalb eine Parabel.
Die Ablenkung am Plattenende
Am Plattenende hört das Feld auf. Gesucht ist die Ablenkung \(y\) nach der Plattenlänge \(l\).
- Flugzeit:\(t=\dfrac{l}{v_0}\) — allein aus der Bewegung in Flugrichtung.
Herleitung:
Flugzeit: Aus der Bewegung in Flugrichtung folgt \(t=\dfrac{l}{v_0}\).
Ablenkung am Plattenende: \(y=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\)
Abhängigkeit: Doppelte Ablenkspannung ergibt doppeltes \(y\); halbes \(v_0\) ergibt vierfaches \(y\).
Der Leuchtfleck auf dem Schirm
Hinter den Platten wirkt keine Kraft mehr: Das Elektron fliegt geradlinig weiter bis zum Schirm im Abstand \(L\).
- Quergeschwindigkeit:am Plattenende \(v_y=a\,t\)
- Winkel:\(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{a\,l}{v_0^{2}}\)
- Gerades Stück:auf der Strecke \(L\) kommt \(L\cdot\tan\alpha\) dazu: \(Y=y+L\,\tan\alpha\)
Herleitung:
Geradlinig: Hinter den Platten wirkt keine Kraft; das Elektron fliegt geradlinig weiter zum Schirm im Abstand \(L\) mit \(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{a\,l}{v_0^{2}}\).
Leuchtfleck: Die Ablenkung auf dem Schirm ist \(Y=y+L\,\tan\alpha\), also:
\(Y=\left(\dfrac{l}{2}+L\right)\tan\alpha\)
Verändere Ablenkspannung, Eintrittsgeschwindigkeit und Plattenlänge. Die Röhre ist maßstabsgetreu gezeichnet.
Achtung: Bei zu großer Ablenkung prallt das Elektron auf die Platte.
Voreinstellung: Ablenkspannung 200 V, v₀ = 2,65·10⁷ m/s, l = 4,0 cm.
Halte fest: Doppelte Ablenkspannung → doppeltes \(y\); halbes \(v_0\) → vierfaches \(y\). Sichtbar wird die Ablenkung erst auf dem entfernten Schirm.
Allgemeine Hinweise
Kraft zeigt gegen die Feldlinien
Das Feld \(\vec E\) zeigt von der positiven zur negativen Platte, die Kraft auf das negative Elektron genau entgegengesetzt. Abgelenkt wird es also stets zur Plusplatte hin.
Flugzeit kommt aus x
Die Reihenfolge trägt die ganze Rechnung: \(E=\dfrac{U_A}{d}\), dann \(a=\dfrac{eE}{m}\), dann \(t=\dfrac{l}{v_0}\) allein aus der waagerechten Bewegung, erst zuletzt \(y=\tfrac12 a t^2\).
v₀ geht quadratisch ein
In \(y=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\) wirkt \(U_A\) nur linear, \(v_0\) und \(l\) dagegen quadratisch: Halbes \(v_0\) vervierfacht die Ablenkung.