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Diskrete Energiestufen

Ein Elektron in der Atomhülle kann nicht jeden Energiewert annehmen — nur ganz bestimmte, diskrete Stufen. Springt es von einer Stufe zur nächsten.

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Diskrete Energien

Was „Quantisierung“ bedeutet

Ein Elektron in der Atomhülle kann nicht jede beliebige Energie haben: Erlaubt sind nur bestimmte Werte — wie die Stufen einer Treppe statt einer Rampe.

  • Formelzeichen:Energie heißt W, weil E die elektrische Feldstärke ist.
  • Diskrete Niveaus:nummeriert mit der Quantenzahl \(n=1,2,3,\dots\); \(n=1\) ist der Grundzustand, alle höheren sind angeregte Zustände.
  • Nichts dazwischen:Energien zwischen zwei Stufen sind verboten — auch nicht kurzzeitig.
  • Nach oben enger:die Stufen rücken mit wachsendem \(n\) dichter zusammen bis zur Ionisierungsgrenze \(W_\infty=0\); darüber ist das Elektron frei. Gebundene Zustände haben deshalb negative Energie.

Der Nachweis: das Linienspektrum

Dass die Energien diskret sind, verrät das Licht, das Atome aussenden.

  • Photon:Atome geben Licht in Portionen ab, den Photonen. Ein Photon der Frequenz \(f\) trägt die Energie \(W_\text{Ph}=h\cdot f\) — mit derselben Konstante \(h\) wie bei de Broglie.
  • Jede Linie = ein Übergang:springt ein Elektron von einem höheren Niveau \(n\) auf ein tieferes \(m\), sendet es ein Photon mit genau der Energiedifferenz aus → feste Frequenz → scharfe Spektrallinie.
  • Wenige Linien statt Kontinuum:bei beliebigen Energien wäre das Spektrum lückenlos; einzelne Linien beweisen die diskreten Stufen.
  • Fingerabdruck:jedes Element hat sein eigenes Linienmuster.
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Die Energiebilanz eines Übergangs

Für jeden Sprung gilt die Energieerhaltung.

Herleitung:

  • Emission:Sprung von \(n\) (hoch) nach \(m\) (tief); die frei werdende Energie steckt vollständig im Photon.
\(\Delta W=W_n-W_m=h\,f\)
| \(f=\tfrac{c}{\lambda}\)
Die Sprungenergie ist die Photonenenergie.
\(\Delta W=\dfrac{h\,c}{\lambda}\)
| nach \(\lambda\)
Frequenz durch Wellenlänge ersetzt.
\(\lambda=\dfrac{h\,c}{\Delta W}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\)
Ergebnis
Mit \(\Delta W\) in eV kommt \(\lambda\) direkt in nm heraus.
  • Absorption:ein Photon mit genau dieser Energie hebt das Elektron nach oben; passt die Energie nicht, geht es vorbei.
  • Ionisierung:ein Photon mit mindestens \(|W_n|\) löst das Elektron ganz aus dem Atom (\(W\ge 0\)).

Energiestufen und Übergänge

Gemessene Energieniveaus des Wasserstoffatoms (\(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\)). Beobachte, wie sich \(\Delta W\), die Wellenlänge und die Farbe des Photons ändern.

EnergieniveauElektronPhoton
3 → 2

Übergang von n=3 auf n=2: das Elektron fällt und sendet ein rotes Photon aus.

Übergang–
Energie \(\Delta W\)–
Wellenlänge \(\lambda\)–
Bereich–
Merke

Energie eines Übergangs:

\(\Delta W = W_n - W_m\qquad \lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\)

Quantisierung: Elektronen in der Atomhülle haben nur diskrete Energien (Niveaus \(n=1,2,3,\dots\)); \(n=1\) ist der Grundzustand, gebundene Zustände haben negative Energie, die Ionisierungsgrenze liegt bei \(W_\infty=0\).

Photon: Bei einem Sprung von \(n\) nach \(m\) trägt das Photon genau die Energiedifferenz \(\Delta W\); es gilt \(W_\text{Ph}=h\cdot f\). Jede Linie entspricht einem Übergang.

Absorption: Nur ein Photon mit genau \(\Delta W\) hebt das Elektron nach oben; ab \(|W_n|\) wird es ionisiert.

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Allgemeine Hinweise

Treppe, keine Rampe

Merke dir das Bild: Energieniveaus sind Stufen. Zwischen ihnen gibt es keine erlaubten Werte — das Elektron springt, es gleitet nicht.

ΔW ist nicht W​n

Ein Photon trägt die Differenz zweier Niveaus, nicht die Energie eines einzelnen. Immer zuerst \(W_n-W_m\) bilden.

Vorzeichen beachten

Die Niveauenergien sind negativ (gebunden). Bei \(-1{,}51-(-3{,}40)\) hebt sich das doppelte Minus auf → \(\Delta W\) wird positiv.

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