Vom Bahnmodell zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Vom Bahnmodell zur Wahrscheinlichkeitswolke
Niels Bohr ließ 1913 das Elektron auf festen Kreisbahnen um den Kern laufen. Das erklärt die Energieniveaus, widerspricht aber der Wahrscheinlichkeitsdeutung.
- Kein Ort vor der Messung:keine Bahn — nur die Wahrscheinlichkeit, es bei einer Messung in einem Raumbereich zu finden.
- Die Wellenfunktion:wie im Potenzialtopf gehört zu jedem Zustand ein \(\psi\); \(|\psi|^2\) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte — jetzt dreidimensional.
- Was ein Orbital ist:Raumgebiet, in dem sich das Elektron mit meist \(90\,\%\) Wahrscheinlichkeit aufhält — eine „Wolke“, keine Bahn.
Die Orbitale bis n = 2
- 1s:kugelsymmetrisch; wahrscheinlichster Abstand \(a_0=53\,\text{pm}\) (Bohrscher Radius, der Radius von Bohrs erster Bahn).
- 2s:kugelsymmetrisch, größer, mit einer Knotenkugel bei \(106\,\text{pm}\) (Aufenthaltswahrscheinlichkeit null).
- 2p:hantelförmig mit Knotenebene durch den Kern; drei senkrecht zueinander stehende (\(p_x, p_y, p_z\)).
Die Quantenzahlen
Drei ganze Zahlen legen fest, welche Orbitale es gibt.
- Hauptquantenzahl \(n\):bestimmt beim Wasserstoff allein die Energie \(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\) und grob die Größe.
- Nebenquantenzahl \(l\):\(l=0,1,\dots,n-1\) → Form: \(l=0\) s (Kugel), \(l=1\) p (Hantel).
- Magnetquantenzahl \(m\):\(m=-l,\dots,+l\) → Orientierung; für \(l=1\) drei p-Orbitale.
Links siehst du eine Punktwolke — jeder Punkt steht für eine Ortsmessung; die Kurve rechts zeigt, in welchem Kernabstand das Elektron am häufigsten gefunden wird.
Das dichteste Gebiet liegt bei 53 pm — genau dort, wo Bohr seine erste Bahn annahm. Der Unterschied: Hier ist es der wahrscheinlichste Abstand, keine feste Bahn.
| Quantenzahlen \(n,\ l\) | – |
| Form | – |
| Wahrscheinlichster Abstand | – |
| Knoten | – |
| Orientierungen | – |
Orbitale und Quantenzahlen:
\(|\psi|^2=\text{Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte}\qquad n=1,2,3,\dots\qquad l=0,\dots,n-1\qquad m=-l,\dots,+l\)
Orbital: Das Elektron hat keine Bahn, sondern nur eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit; ein Orbital ist das Raumgebiet, in dem es sich meist mit \(90\,\%\) Wahrscheinlichkeit aufhält.
Quantenzahlen: \(n\) bestimmt beim Wasserstoff die Energie \(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\); \(l\) legt die Form fest (\(l=0\) s: Kugel, \(l=1\) p: Hantel), \(m\) die Orientierung.
Beispiele: 1s ist kugelsymmetrisch mit wahrscheinlichstem Abstand \(a_0=53\,\text{pm}\) (Bohrscher Radius); es gibt drei p-Orbitale.
Allgemeine Hinweise
Orbital ist keine Bahn
Die Hantelform des 2p-Orbitals ist kein Flugweg. Das Elektron „fliegt“ nicht auf einer Acht herum — die Form gibt nur an, wo eine Messung es wahrscheinlich antrifft.
Dichte und Radialverteilung unterscheiden
\(|\psi|^2\) ist am Kern maximal, die radiale Verteilung dagegen null. Beide Aussagen stimmen — sie beantworten verschiedene Fragen.
Knoten zählen statt auswendig lernen
Ein Orbital mit \(n\) und \(l\) hat \(n-l-1\) Knotenkugeln und \(l\) Knotenebenen. Für 2s: \(2-0-1=1\) Kugel; für 2p: eine Ebene.