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Die Balmer-Formel

Vierzehn Jahre vor dem ersten Atommodell fand ein Basler Lehrer eine Formel, die alle sichtbaren Wasserstofflinien auf eine einzige Zahl zurückführt.

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Übungsaufgaben

1Die Balmer-Formel in WortenAFB I

Vervollständigen Sie die Beschreibung der Formel.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Balmer-Formel liefert nicht die Wellenlänge selbst, sondern ihren . Das Zielniveau ist bei allen Linien dieser Serie die Zahl . Die Konstante R mit dem Wert 1,097·10⁷ 1/m heißt -Konstante. Das kleinste erlaubte Startniveau ist , weil der Sprung sonst nach oben ginge. Für sehr große Startniveaus nähert sich die Wellenlänge einem festen Wert von 365 nm — der . Weil R in 1/m angegeben ist, kommt die Wellenlänge zunächst in heraus.

Zwei Details entscheiden über den Erfolg beim Rechnen: die 1/λ-Form und die Einheit von R. Beide zusammen erzeugen den häufigsten Fehler überhaupt — man rechnet die Klammer richtig aus, vergisst den Kehrwert und landet bei einer „Wellenlänge“ von zwei Millionen. Die Seriengrenze ist dabei ein guter Kontrollwert: Jede Balmer-Linie muss zwischen 365 nm und 656 nm liegen, nichts darüber, nichts darunter.
2Startniveau und Linie verbindenAFB I

Verbinden Sie jedes Startniveau mit der Wellenlänge seiner Balmer-Linie.

Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.
Die Reihenfolge ist streng monoton: Je höher das Startniveau, desto größer der Sprung, desto kürzer die Welle. Auffällig sind die Abstände: Von n = 3 auf n = 4 ändert sich die Wellenlänge um 170 nm, von n = 5 auf n = 6 nur noch um 24 nm. Genau das ist der Grund, warum sich die Linien am violetten Ende zur Seriengrenze hin drängen — dort liegen die Energieniveaus so dicht beieinander, dass man sie kaum noch trennen kann.
3Eine Balmer-Linie berechnenAFB II

Berechnen Sie die Wellenlänge der Balmer-Linie mit dem Startniveau \(n=6\). Es gilt \(\tfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).

Berechnen Sie die Wellenlänge in Nanometern.

Klammer ausrechnen, mit R multiplizieren, Kehrwert bilden — und am Schluss in Nanometer umrechnen.
Die Klammer ergibt 0,2500 − 0,0278 = 0,2222; damit ist 1/λ = 2,438·10⁶ 1/m und λ = 4,10·10⁻⁷ m = 410 nm. Das ist Hδ, die vierte und schwächste der klassischen Balmer-Linien — genau eine der vier Wellenlängen, aus denen Balmer 1885 seine Formel erraten hat. Sie liegt schon so nah am violetten Rand des Sehbereichs, dass sie mit bloßem Auge nur schwer zu erkennen ist.