Balmers Formel und das Termschema
Balmers Fund von 1885
Der Basler Lehrer Johann Jakob Balmer suchte 1885 ein Muster in vier gemessenen Wasserstofflinien — lange bevor man Energieniveaus kannte.
- Die Messwerte:\(656{,}3\,\text{nm}\) (rot), \(486{,}1\,\text{nm}\) (blaugrün), \(434{,}0\,\text{nm}\) (violett) und \(410{,}2\,\text{nm}\).
- Sein Ergebnis:\(\lambda=G\cdot\dfrac{m^2}{m^2-4}\) mit \(G=364{,}6\,\text{nm}\) und \(m=3,4,5,6\) — vier Zahlen aus einer einzigen Konstanten.
- Der Haken:eine physikalische Erklärung fehlte fast 30 Jahre lang.
Die moderne Schreibweise
Heute schreibt man Balmers Formel mit Kehrwerten.
- Balmer-Formel:\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(n=3,4,5,\dots\)
- Rydberg-Konstante:\(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\) (gemessen).
- Seriengrenze:Für \(n\to\infty\) verschwindet \(\tfrac{1}{n^2}\); es bleibt \(\tfrac{1}{\lambda}=\tfrac{R_H}{4}\), also \(\lambda\approx365\,\text{nm}\).
Der Anschluss ans Termschema
Die Energieniveaus erklären, warum die Formel funktioniert.
- Verallgemeinerung:\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\). Balmer ist einfach der Fall \(n_\text{tief}=2\).
- Brücke zur Energie:\(R_H\cdot h c=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\cdot1240\,\text{eV⋅nm}=13{,}6\,\text{eV}\) — genau die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.
- Deutung:Balmers \(m\) ist die Quantenzahl \(n\) des Startniveaus, seine Konstante \(G\) die Seriengrenze.
Links siehst du, wo die Linie im Spektrum landet, rechts stehen die beiden Rechenwege nebeneinander: einmal über die Balmer-Formel, einmal über das Termschema. Beide müssen dasselbe liefern.
Die H-alpha-Linie: der kleinste Sprung der Serie, deshalb die längste Welle und die rote Farbe.
| Klammer \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{n^2}\) | – |
| \(1/\lambda\) nach Balmer | – |
| \(\lambda\) nach Balmer | – |
| \(\lambda\) über \(\Delta W\) | – |
| Farbe | – |
Balmer-Formel und ihre Verallgemeinerung:
\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\qquad \dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\qquad R_H\,hc=13{,}6\,\text{eV}\)
Balmers Fund: Balmer fand 1885 ein Muster in vier Wasserstofflinien: \(\lambda=G\cdot\tfrac{m^2}{m^2-4}\) mit \(G=364{,}6\,\text{nm}\) und \(m=3,4,5,6\).
Rydberg-Konstante: \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\). Für \(n\to\infty\) ergibt sich die Seriengrenze \(\lambda\approx365\,\text{nm}\).
Termschema: Balmer ist der Fall \(n_\text{tief}=2\); \(n\) ist die Quantenzahl des Startniveaus. \(R_H\,hc\) ist die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.
Allgemeine Hinweise
Der Kehrwert wird vergessen
Die Formel liefert \(\tfrac{1}{\lambda}\), nicht \(\lambda\). Wer den letzten Schritt überspringt, erhält Zahlen im Millionenbereich statt einiger hundert Nanometer.
Einheiten von \(R_H\)
\(R_H\) ist in \(\tfrac{1}{\text{m}}\) angegeben. Das Ergebnis \(\lambda\) kommt daher in Metern heraus — für Nanometer noch mit \(10^{9}\) multiplizieren.
Immer die kleinere Zahl zuerst
In der Klammer steht \(\tfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\tfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\). Weil \(n_\text{tief}\lt n_\text{hoch}\), ist der erste Bruch der größere — die Klammer bleibt positiv.