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Die A-Saite einer Gitarre
AFB IIDie A-Saite einer Konzertgitarre ist zwischen Sattel und Steg über die Länge \(L = 0{,}65\ \mathrm{m}\) eingespannt. Frei angezupft klingt sie mit ihrer Grundfrequenz \(f_1 = 110\ \mathrm{Hz}\). Auf der Saite bildet sich dabei eine stehende Welle aus (Material M1).
M1Die drei tiefsten Eigenschwingungen der Saite
Die gestrichelte Kurve zeigt die Lage der Saite eine halbe Periode später. An den Einspannstellen liegt immer ein Knoten.
- Beschreiben Sie, wie die stehende Welle auf der Saite zustande kommt, und begründen Sie, warum an beiden Einspannstellen zwingend ein Knoten liegen muss.
- Berechnen Sie die Wellenlänge der Grundschwingung, die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) auf der Saite sowie Wellenlänge und Frequenz der 2. Oberschwingung.
- Beim Greifen im fünften Bund verkürzt sich die schwingende Länge auf \(L' = 0{,}487\ \mathrm{m}\). Berechnen Sie die neue Grundfrequenz und erklären Sie, warum die Ausbreitungsgeschwindigkeit dabei unverändert bleibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Am eingespannten Ende wird die hinlaufende Welle reflektiert. Was passiert, wenn die reflektierte Welle die nachfolgende hinlaufende Welle trifft? Für die Knoten: Was kann sich ein festgeklemmter Punkt überhaupt bewegen?
Hinweis zu Aufgabe b)
Aus M1 liest du ab: In die Länge \(L\) passt bei der Grundschwingung genau eine halbe Wellenlänge. Allgemein gilt \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\). Die 2. Oberschwingung hat \(n = 3\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Geschwindigkeit \(c\) hängt von der Saite selbst ab — von ihrer Spannung und ihrer Masse pro Länge, nicht von der Greifstelle. Rechne also mit demselben \(c\) wie in b).„Erklären“ verlangt hier, die Größen zu benennen, von denen c tatsächlich abhängt.