Minima am Einzelspalt
Viele Elementarwellen aus einem Spalt
Fällt Licht durch einen einzelnen schmalen Spalt, entsteht auf dem Schirm kein scharfer Lichtstreifen, sondern ein Muster aus hellen und dunklen Stellen. Der Grund: Jeder Punkt der Spaltöffnung ist Ausgangspunkt einer eigenen Welle, und diese vielen Wellen überlagern sich.
- Spaltbreite:Die Breite der Öffnung heißt \(b\); bei Lichtversuchen liegt sie im Bereich von Hundertstel- bis Zehntelmillimetern.
- Elementarwellen:Jeder Punkt der Öffnung sendet eine kreisförmige Elementarwelle aus. Trifft die Welle senkrecht auf den Spalt, starten alle gleichphasig.
- Randstrahlen:Unter dem Winkel \(\alpha\) haben die Wellen von den beiden Spalträndern den Gangunterschied \(\Delta s=b\sin\alpha\).
- Minimum:Dunkel wird es, wenn sich die Elementarwellen paarweise so zusammenfassen lassen, dass jedes Paar den Gangunterschied \(\tfrac{\lambda}{2}\) hat: Dann löscht jede Welle ihre Partnerin aus.
Herleitung:
Teile den Spalt gedanklich in eine obere und eine untere Hälfte. Zu jeder Elementarwelle der oberen Hälfte gibt es eine Partnerin in der unteren Hälfte, die genau \(\tfrac{b}{2}\) tiefer startet.
Minima am Einzelspalt:
\(b\sin\alpha=k\cdot\lambda\quad(k=1,2,3,\dots)\)
Hauptmaximum: In der Mitte (\(\alpha=0\)) haben alle Elementarwellen denselben Weg und verstärken sich: Dort liegt das helle Hauptmaximum. \(k=0\) ist deshalb kein Minimum.
Minima: Dunkel ist es, wenn der Gangunterschied der Randstrahlen \(b\sin\alpha\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(\lambda\) ist.
Intensität und Vergleich
Zwischen den Minima ist es nicht gleichmäßig hell: Fast das ganze Licht landet im mittleren Streifen. Die Helligkeit an einer Stelle des Schirms nennt man Intensität \(I\).
- Hauptmaximum:Es reicht vom ersten Minimum links bis zum ersten Minimum rechts und ist doppelt so breit wie die übrigen hellen Streifen.
- Nebenmaxima:Sie liegen etwa in der Mitte zwischen zwei Minima und sind sehr lichtschwach: Das erste erreicht nur knapp 5 % der Intensität des Hauptmaximums.
- Spaltbreite:Je schmaler der Spalt, desto weiter rücken die Minima nach außen. Das Muster wird breiter und lichtschwächer.
- Schirmbild:Steht der Schirm im Abstand \(L\), gilt \(\tan\alpha_k=\dfrac{x_k}{L}\). Für kleine Winkel liegen die Minima bei \(x_k\approx\dfrac{k\,\lambda\,L}{b}\).
- Vergleich:Doppelspalt (\(d\sin\alpha=n\lambda\)) und Gitter (\(g\sin\alpha=n\lambda\)) beschreiben mit derselben Form helle Maxima, der Einzelspalt dagegen dunkle Minima.
- Einhüllende:Auch beim Doppelspalt und beim Gitter hat jeder Spalt eine Breite \(b\). Ihre hellen Streifen sind höchstens so hell, wie es das Einzelspaltmuster an dieser Stelle zulässt.
Verändere Spaltbreite und Wellenlänge und beobachte, wohin die Minima wandern. Schalte danach auf den Doppelspalt um und vergleiche die Muster.
Halte fest: Ein schmalerer Spalt oder eine größere Wellenlänge schiebt die Minima nach außen. Beim Doppelspalt liegen die hellen Streifen innerhalb des Einzelspaltmusters, das ihre Helligkeit begrenzt.
Einzelspalt im Vergleich:
Einzelspalt: \(b\sin\alpha=k\lambda\) → Minima | Doppelspalt und Gitter: \(g\sin\alpha=n\lambda\) → Maxima
Intensität: Das Hauptmaximum ist doppelt so breit wie die Nebenmaxima und viel heller; das erste Nebenmaximum hat knapp 5 % seiner Intensität.
Lage auf dem Schirm: \(x_k\approx\dfrac{k\,\lambda\,L}{b}\) (kleine Winkel); die Breite des Hauptmaximums ist \(2x_1\). Schmalerer Spalt → breiteres Muster.
Allgemeine Hinweise
Minima, nicht Maxima
Die Bedingung \(b\sin\alpha=k\lambda\) beschreibt beim Einzelspalt die dunklen Stellen. Beim Gitter liefert dieselbe Form die hellen Linien – verwechsle die beiden nicht.
k beginnt bei 1
In der Mitte liegt das helle Hauptmaximum, deshalb gibt es kein Minimum mit \(k=0\). Das erste Minimum hat die Ordnung \(k=1\).
Breite des Hauptmaximums
Das Hauptmaximum reicht von \(-x_1\) bis \(+x_1\), ist also \(2x_1\) breit. Halbiert man \(b\), verdoppelt sich diese Breite bei kleinen Winkeln.