Erzwungene Schwingungen

Ein Pendel, das man einmal anstößt und dann sich selbst überlässt, schwingt mit seiner eigenen Frequenz. Wird es dagegen von außen periodisch angetrieben, etwa von einem Motor über eine Feder, muss es sich nach dem Antrieb richten. Eine solche Schwingung heißt erzwungene Schwingung.

• Eigenfrequenz \(f_0\):Frequenz, mit der ein System nach einmaligem Anstoßen frei schwingt (Eigenschwingung). Beim Feder-Masse-Pendel gilt \(f_0=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{\tfrac{D}{m}}\), beim Schwingkreis \(f_0=\tfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}\).
• Erreger:System, das periodisch Energie zuführt, z. B. ein Motor mit Exzenter oder eine Wechselspannungsquelle. Seine Frequenz heißt Erregerfrequenz \(f_E\).
• Resonator:das angetriebene schwingungsfähige System.
• Einschwingvorgang:Nach dem Einschalten schwingt der Resonator zunächst unregelmäßig. Danach schwingt er mit der Erregerfrequenz \(f_E\), nicht mit seiner Eigenfrequenz.
• Resonanz:Stimmt \(f_E\) mit \(f_0\) (nahezu) überein, wird die Amplitude des Resonators besonders groß.

Trägt man die Amplitude \(\hat{y}\) des Resonators gegen die Erregerfrequenz \(f_E\) auf, erhält man die Resonanzkurve. Wie hoch und wie breit ihr Maximum ist, entscheidet die Dämpfung. Gleichzeitig verschiebt sich der Takt: Der Resonator hinkt dem Erreger um die Phasenverschiebung \(\Delta\varphi\) hinterher.

• \(f_E\ll f_0\):Der Resonator folgt dem Erreger fast im Gleichtakt (\(\Delta\varphi\approx 0\)); seine Amplitude ist etwa so groß wie die des Erregers.
• \(f_E\approx f_0\):Resonanz: Die Amplitude ist maximal, der Resonator hinkt um eine Viertelperiode nach (\(\Delta\varphi=\tfrac{\pi}{2}\)). Der Erreger schiebt dann immer in Bewegungsrichtung und führt in jeder Periode Energie zu.
• \(f_E\gg f_0\):Der Resonator kommt nicht mehr mit: Er schwingt mit sehr kleiner Amplitude im Gegentakt (\(\Delta\varphi\approx\pi\)).
• Einfluss der Dämpfung:Schwache Dämpfung ergibt ein hohes, schmales Maximum, starke Dämpfung ein niedriges, breites. Mit zunehmender Dämpfung rückt das Maximum etwas unter \(f_0\).
• Energiebilanz:Die Amplitude wächst so lange, bis die vom Erreger zugeführte Energie je Periode genauso groß ist wie die durch Reibung entwertete Energie.
• Resonanzkatastrophe:Ist die Dämpfung zu schwach, wird die Amplitude in Resonanz so groß, dass der Resonator zerstört wird, etwa eine Brücke, eine Maschine oder ein Weinglas. Abhilfe schaffen stärkere Dämpfung oder eine Eigenfrequenz weit weg von der Erregerfrequenz.

Ein Motor treibt ein Federpendel über eine Feder an. Ziehe den roten Punkt auf der Resonanzkurve zu einer Erregerfrequenz, wähle die Dämpfung und starte die Bewegung mit ▶.

Halte fest: Nahe der Eigenfrequenz wird die Amplitude maximal und der Resonator hinkt eine Viertelperiode nach. Je schwächer die Dämpfung, desto höher und schmaler ist die Resonanzspitze.