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Ein gedämpftes Federpendel
AFB IIIm Praktikum wird ein Federpendel (Masse \(m=0{,}50\,\mathrm{kg}\)) ausgelenkt und losgelassen. Ein Ultraschallsensor zeichnet die Bewegung auf; aus den Daten werden die Amplituden in aufeinanderfolgenden oberen Umkehrpunkten bestimmt (Material M1). Die Periodendauer beträgt \(T=1{,}6\,\mathrm s\) und ändert sich während der Messung nicht messbar.
M1Amplituden in aufeinanderfolgenden Umkehrpunkten
| \(t\) in s | 0 | 1,6 | 3,2 | 4,8 | 6,4 | 8,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\hat y\) in cm | 8,0 | 6,2 | 4,8 | 3,7 | 2,9 | 2,2 |
- Weisen Sie anhand der Messwerte in M1 nach, dass die Amplitude exponentiell abnimmt.
- Ermitteln Sie die Abklingkonstante \(\delta\) und die Halbwertszeit \(t_{1/2}\) der Amplitude.
- Berechnen Sie die Federhärte \(D\) und die Energie, die in den ersten 8,0 s entwertet wurde. Geben Sie an, in welche Energieform sie umgewandelt wurde.
Hinweis zu Aufgabe a)
Bei exponentieller Abnahme ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden konstant. Bilde die Quotienten \(\hat y_{n+1}:\hat y_n\). Zum Vergleich: Bei linearer Abnahme wären die Differenzen gleich.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze den ersten und den letzten Messwert: \(\hat y(t)=\hat y_0\,e^{-\delta t}\). Logarithmiere und stelle nach \(\delta\) um. Für die Halbwertszeit gilt \(t_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{\delta}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Aus \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) folgt \(D=\tfrac{4\pi^{2}m}{T^{2}}\). Die Schwingungsenergie lässt sich im Umkehrpunkt als Spannenergie \(W=\tfrac12 D\hat y^{2}\) berechnen.