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Gedämpfte Schwingungen

Reibung entwertet Schwingungsenergie: Die Amplitude nimmt ab, bei geschwindigkeitsabhängiger Reibung sogar exponentiell.

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Warum Schwingungen abklingen

Ein angestoßenes Pendel schwingt nicht ewig: Seine Ausschläge werden von Mal zu Mal kleiner, bis es schließlich in der Ruhelage stehen bleibt. Eine Schwingung, deren Amplitude mit der Zeit abnimmt, heißt gedämpfte Schwingung. Wie schnell sie abklingt, hängt davon ab, welche Reibung auf das System wirkt.

  • Dämpfung:Das schwingende System gibt bei jeder Schwingung Energie an die Umgebung ab, deshalb nimmt die Amplitude \(\hat{y}\) ab.
  • Schwingungsenergie:Im Umkehrpunkt steckt die gesamte Energie als Spannenergie in der Feder: \(W=\tfrac12\,D\,\hat{y}^{2}\). Halbe Amplitude bedeutet also nur noch ein Viertel der Energie.
  • Energieentwertung:Reibung wandelt Schwingungsenergie in innere Energie um, die als Wärme an die Umgebung geht. Die Energie bleibt erhalten, kann die Schwingung aber nicht mehr antreiben.
  • Gleitreibung:Eine konstante Reibungskraft (Körper gleitet auf einer Unterlage) verkleinert die Amplitude in jeder Periode um denselben Betrag: Sie nimmt linear ab, die Schwingung endet nach endlicher Zeit.
  • Geschwindigkeitsabhängige Reibung:Luft- und Flüssigkeitsreibung sowie der ohmsche Widerstand im Schwingkreis verkleinern die Amplitude in jeder Periode um denselben Faktor: Sie nimmt exponentiell ab.
Merke

Gedämpfte Schwingung:

\(W=\tfrac12\,D\,\hat{y}^{2}\)

Energieentwertung: Reibung wandelt Schwingungsenergie in innere Energie (Wärme) um, die Amplitude \(\hat{y}\) nimmt ab.

Gleitreibung: \(\hat{y}\) sinkt je Periode um denselben Betrag (linear). Geschwindigkeitsabhängige Reibung: \(\hat{y}\) sinkt je Periode um denselben Faktor (exponentiell).

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Die exponentielle Abnahme

Bei geschwindigkeitsabhängiger Reibung ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden immer gleich, etwa \(k=0{,}8\): Nach jeder Periode \(T\) sind nur noch 80 % der vorigen Amplitude übrig. Daraus folgt das Gesetz für die Amplitude \(\hat{y}(t)\) zu jedem Zeitpunkt.

Herleitung:

\(\hat{y}(T)=k\cdot\hat{y}_0\)
| nach \(n\) Perioden
Nach einer Periode ist von der Anfangsamplitude \(\hat{y}_0\) nur der Anteil \(k\) übrig (\(0<k<1\)).
\(\hat{y}(n\,T)=k^{n}\cdot\hat{y}_0\)
| \(n=\tfrac{t}{T}\)
Jede weitere Periode multipliziert noch einmal mit \(k\).
\(\hat{y}(t)=\hat{y}_0\cdot k^{t/T}\)
| \(k=e^{-\delta T}\)
Jede Zahl \(0<k<1\) lässt sich als \(e^{-\delta T}\) mit einer positiven Konstante \(\delta\) schreiben.
\(\hat{y}(t)=\hat{y}_0\cdot e^{-\delta t}\)
Ergebnis
Die Amplitude nimmt exponentiell mit der Zeit ab.
  • Abklingkonstante \(\delta\):gibt an, wie stark die Schwingung gedämpft ist (Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\)). Großes \(\delta\) bedeutet schnelles Abklingen.
  • Zeit-Ort-Funktion:Startet die Schwingung in der Ruhelage, wird die Sinusfunktion mit der abnehmenden Amplitude multipliziert. Die Kurven \(\pm\hat{y}_0\,e^{-\delta t}\) heißen Einhüllende.
  • Halbwertszeit \(t_{1/2}\):Zeit, nach der die Amplitude auf die Hälfte gesunken ist. Aus \(e^{-\delta\,t_{1/2}}=\tfrac12\) folgt \(t_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{\delta}\).
  • Energie:Da \(W\) mit \(\hat{y}^{2}\) wächst, nimmt die Energie doppelt so schnell ab: \(W(t)=W_0\,e^{-2\delta t}\).
Merke

Exponentiell gedämpfte Schwingung:

\(y(t)=\hat{y}_0\,e^{-\delta t}\cdot\sin(\omega t)\)

Amplitude: \(\hat{y}(t)=\hat{y}_0\,e^{-\delta t}\) mit der Abklingkonstante \(\delta\).

Halbwertszeit: \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\delta}\). Energie: \(W(t)=W_0\,e^{-2\delta t}\).

Schwingfall, Grenzfall, Kriechfall

Wird die Dämpfung immer stärker, kommt irgendwann keine Schwingung mehr zustande. Man unterscheidet drei Fälle:

  • Schwingfall:schwache Dämpfung; das System schwingt mit abnehmender Amplitude über die Ruhelage hinaus.
  • Aperiodischer Grenzfall:Die Dämpfung ist gerade so groß, dass das System nicht mehr überschwingt. Es kehrt in der kürzesten Zeit in die Ruhelage zurück, darum stimmt man Stoßdämpfer und Zeigermessgeräte darauf ab.
  • Kriechfall:sehr starke Dämpfung; das System kriecht langsam und ohne Überschwingen in die Ruhelage zurück.
Merke

Drei Fälle der Dämpfung:

Schwingfall (schwach gedämpft, schwingt), aperiodischer Grenzfall (schnellste Rückkehr ohne Überschwingen), Kriechfall (stark gedämpft, langsame Rückkehr).

Ein Federpendel wird in der Ruhelage angestoßen. Wähle die Abklingkonstante oder einen der beiden Grenzfälle und starte die Bewegung mit ▶.

Abklingende Schwingung

t in s y in cm

Halte fest: Je größer die Abklingkonstante, desto schneller schrumpft die Einhüllende. Im aperiodischen Grenzfall kehrt das Pendel am schnellsten ohne Überschwingen zurück, im Kriechfall langsamer.

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Allgemeine Hinweise

Faktor, nicht Betrag

Bei exponentieller Dämpfung sinkt die Amplitude je Periode um denselben Faktor. Gleiche Differenzen zwischen den Amplituden sprechen dagegen für Gleitreibung.

δ aus Messwerten

Aus zwei Amplituden im Zeitabstand \(\Delta t\) folgt \(\delta=\tfrac{1}{\Delta t}\ln\tfrac{\hat{y}_1}{\hat{y}_2}\). Mit dem Logarithmus der Amplituden erhält man eine Gerade mit der Steigung \(-\delta\).

Energie halbiert sich schneller

Die Energie wächst mit dem Quadrat der Amplitude. Sie hat sich deshalb schon halbiert, wenn die Amplitude erst auf etwa 71 % gesunken ist.

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