MINT lernen

Das Fadenpendel

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Eine Pendeluhr richtig stellen

AFB II

In einer Standuhr zählt das Uhrwerk die Schwingungen eines Fadenpendels und rückt den Zeiger bei jeder vollen Schwingung um genau \(2{,}00\,\mathrm s\) weiter (Material M1). Die Uhr geht also genau dann richtig, wenn ihr Pendel die Schwingungsdauer \(T=2{,}00\,\mathrm s\) hat. Nach der Aufstellung in einem Wohnhaus in Norddeutschland \((g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^{2}}})\) stellt der Besitzer fest, dass die Uhr täglich um \(60\,\mathrm s\) nachgeht. Die Auslenkung des Pendels beträgt stets weniger als \(5^\circ\).

M1Pendel einer Standuhr
Stellschraube l Pendellänge Aufhängepunkt

Das Uhrwerk zählt die Schwingungen des Pendels. Mit der Stellschraube lässt sich die Linse und damit die wirksame Pendellänge um wenige Millimeter verschieben.

  1. Berechnen Sie die Pendellänge, die für eine Schwingungsdauer von \(2{,}00\,\mathrm s\) erforderlich ist.
  2. Ermitteln Sie die tatsächliche Schwingungsdauer des Pendels und berechnen Sie, um welche Strecke die Linse mit der Stellschraube verschoben werden muss und in welche Richtung.
  3. Erklären Sie, warum dieselbe Uhr im Hochsommer ohne Nachstellen erneut nachgehen würde, und begründen Sie, wie sie sich in Äquatornähe verhielte, wo die Fallbeschleunigung geringfügig kleiner ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\) nach \(l\) um: quadrieren, dann nach \(l\) auflösen. Ergebnis in Metern mit vier gültigen Ziffern angeben — es geht später um Millimeter.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Uhr zeigt in \(24\,\mathrm h\) nur \(86\,340\,\mathrm s\) an, obwohl \(86\,400\,\mathrm s\) vergangen sind. Bestimme daraus zuerst die Zahl der tatsächlich ausgeführten Schwingungen und daraus \(T\). Danach dieselbe Rechnung wie in a).Kürzer geht es über die Verhältnisrechnung: Aus \(T\sim\sqrt{l}\) folgt, dass eine relative Längenänderung doppelt so groß sein muss wie die gewünschte relative Änderung von \(T\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Sieh dir an, welche beiden Größen in \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\) stehen, und überlege für jeden Fall, ob sie größer oder kleiner wird. Eine größere Schwingungsdauer bedeutet: Das Uhrwerk wird seltener weitergerückt.