MINT lernen

Die De-Broglie-Wellenlänge

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Wie kurz ist die Welle eines Elektrons?

AFB II

In der Elektronenbeugungsröhre aus Unterkapitel 6.1.1 durchlaufen zunächst ruhende Elektronen die Beschleunigungsspannung \(U = 4{,}0\,\mathrm{kV}\) und treffen danach auf eine Graphitfolie. Ob an dieser Folie überhaupt eine Beugung zu erwarten ist, hängt davon ab, wie groß die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen im Vergleich zum Netzebenenabstand des Graphits ist (Material M1).

M1Konstanten und Daten
GrößeWert
Plancksches Wirkungsquantum \(h\)\(6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\)
Elementarladung \(e\)\(1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\)
Elektronenmasse \(m_e\)\(9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)
Netzebenenabstand in Graphit \(d\)\(2{,}1\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}\)
Beschleunigungsspannung \(U\)\(4{,}0\,\mathrm{kV}\)

Relativistische Effekte bleiben unberücksichtigt.

  1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v\), die ein Elektron nach dem Durchlaufen der Spannung \(U = 4{,}0\,\mathrm{kV}\) besitzt.
  2. Berechnen Sie die De-Broglie-Wellenlänge \(\lambda\) dieser Elektronen.
  3. Leiten Sie aus dem Energieansatz und der De-Broglie-Gleichung die Beziehung \(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,U}}\) her und begründen Sie damit, dass \(\lambda\sim\frac{1}{\sqrt{U}}\) gilt.
  4. An einem Gitter ist Beugung nur beobachtbar, wenn die Wellenlänge höchstens etwa so groß ist wie der Gitterabstand. Begründen Sie mit einem Zahlenvergleich, warum Elektronen an der Graphitfolie Beugungsringe erzeugen, sichtbares Licht (\(\lambda = 550\,\mathrm{nm}\)) dagegen nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die vom Feld verrichtete Arbeit \(W = e\cdot U\) steckt anschließend vollständig in der kinetischen Energie: \(e\,U=\tfrac{1}{2}m_e v^2\). Löse nach \(v\) auf.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze in \(\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m_e\,v}\) das Ergebnis aus a) ein. Achte darauf, dass alle Größen in SI-Einheiten stehen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ersetze in \(\lambda=\frac{h}{m_e v}\) die Geschwindigkeit durch den Ausdruck aus a). Ziehe \(m_e\) unter die Wurzel.„Herleiten“ verlangt eine lückenlose Kette bekannter Gleichungen bis zum gesuchten Zusammenhang — nicht das Einsetzen von Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Bilde jeweils den Quotienten \(\frac{\lambda}{d}\) und vergleiche ihn mit 1.