MINT lernen

Kreisbahnen im Magnetfeld

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

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Fadenstrahlrohr im Schulversuch

AFB I–II

Mit einem Fadenstrahlrohr lässt sich die Bahn von Elektronen sichtbar machen: In der Röhre steht ein Restgas unter sehr geringem Druck, das entlang des Strahls zum Leuchten angeregt wird (Material M1). Die Elektronen werden mit der Beschleunigungsspannung \(U = 250\,\mathrm V\) aus einer Elektronenkanone geschossen und treten senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte \(B = 1{,}4\,\mathrm{mT}\) in den Feldbereich ein.

An der Skala des Rohres wird für die Leuchtspur der Bahnradius \(r = 3{,}9\,\mathrm{cm}\) abgelesen. Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\).

M1Fadenstrahlrohr — Elektronen auf einer Kreisbahn
Fadenstrahlrohr: Blick auf die Bahnebene der Elektronen B = 1,4 mT U = 250 V Elektronenkanone v F M r = 3,9 cm B in die Ebene hineinLeuchtspur der ElektronenElektron, negativ

Das Feld wird von zwei großen Spulen erzeugt und darf im ganzen Bahnbereich als homogen gelten; es steht senkrecht auf der Bahnebene. Der Radius \(r = 3{,}9\,\mathrm{cm}\) ist der an der Skala des Rohres gemessene Wert. Die Gewichtskraft der Elektronen ist nicht eingezeichnet.

  1. Begründen Sie mithilfe von Material M1, warum die Elektronen im Magnetfeld eine Kreisbahn durchlaufen, und geben Sie die Richtung der Lorentzkraft im eingezeichneten Bahnpunkt an.
  2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen in den Feldbereich eintreten.
  3. Zeigen Sie, dass für den Bahnradius \(r = \frac{m_\text{e}\,v}{e\,B}\) gilt, und berechnen Sie den Radius, den die Bahn nach dieser Beziehung haben müsste.
  4. Die spezifische Ladung des Elektrons ist der Quotient \(\frac{e}{m_\text{e}}\). Bestimmen Sie diesen Quotienten allein aus den Messgrößen \(U\), \(B\) und \(r\) und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert \(1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Eigenschaften der Lorentzkraft sind entscheidend: Wie liegt sie zur Geschwindigkeit, und ändert sich dabei ihr Betrag? Denke an die Bedingung für eine gleichförmige Kreisbewegung. Die Richtung findest du mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand — beachte, dass das Elektron negativ geladen ist. „Begründen“ heißt: den Sachverhalt auf ein Gesetz zurückführen, hier auf \(F = q\,v\,B\) und auf \(F = \frac{m\,v^2}{r}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Die im elektrischen Feld verrichtete Arbeit \(W = e\,U\) steckt anschließend vollständig in der kinetischen Energie: \(e\,U = \tfrac12\,m_\text{e}\,v^2\). Löse nach \(v\) auf.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Lorentzkraft ist hier die einzige Kraft und wirkt stets zum Mittelpunkt — sie ist also die Zentripetalkraft. Setze \(e\,v\,B = \frac{m_\text{e}\,v^2}{r}\) an und löse nach \(r\) auf.
Hinweis zu Aufgabe d)
Setze das \(v\) aus Teilaufgabe b) in die Radiusformel ein, bevor du Zahlen einsetzt. Nach dem Quadrieren lässt sich die Gleichung so umstellen, dass nur noch \(U\), \(B\), \(r\) und der Quotient \(\frac{e}{m_\text{e}}\) vorkommen.