MINT lernen

Messen mit der Hallsonde

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

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Wie die Hallspannung entsteht

AFB I–II

Zum Messen magnetischer Felder benutzt man im Praktikum eine Hallsonde. Ihr Herzstück ist ein dünnes Halbleiterplättchen, durch das ein Steuerstrom \(I = 20\,\mathrm{mA}\) längs hindurchfließt (Material M1). Das Plättchen ist \(b = 10\,\mathrm{mm}\) breit und \(d = 0{,}25\,\mathrm{mm}\) dick; die zu messende Flussdichte steht senkrecht auf seiner Fläche. Zwischen den beiden Längskanten misst ein hochohmiges Voltmeter die Hallspannung \(U_\text{H}\).

Im Halbleiter wird der Strom von freien Elektronen getragen. Laut Datenblatt beträgt ihre Dichte \(n = 1{,}0\cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\); die Elementarladung ist \(e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\). Für die Hallspannung gilt \(\displaystyle U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\).

M1Hall-Plättchen im Praktikum — Vorderansicht und Querschnitt
Hall-Plättchen von vorn — die Flussdichte zeigt in die Zeichenebene hinein Halbleiterplättchen − − − − + + + + negative Kante positive Kante − v FL Fel I = 20 mA Steuerstrom UH Querschnitt (Blick in Stromrichtung) b = 10 mm d = 0,25 mm B senkrecht zum Plättchen VorderansichtB zeigt in die Zeichenebenefreies Elektron

Gezeichnet ist nur ein stellvertretendes Elektron; im Gleichgewicht heben sich die beiden eingezeichneten Kräfte gerade auf. Der Querschnitt ist nicht maßstäblich — in Wirklichkeit ist das Plättchen 40-mal so breit wie dick. Die beiden Kontakte für die Hallspannung liegen einander genau gegenüber, sodass ohne Magnetfeld keine Spannung angezeigt wird.

  1. Erklären Sie mithilfe von Material M1, wie zwischen den beiden Längskanten des Plättchens eine Spannung entsteht, und begründen Sie, warum sie nicht beliebig weiter anwächst.
  2. Berechnen Sie die Hallspannung, die diese Sonde in einem Feld der Flussdichte \(B = 40\,\mathrm{mT}\) liefert.
  3. Die Sonde wird in den Luftspalt eines Magneten geschoben; das Voltmeter zeigt \(U_\text{H} = 0{,}35\,\mathrm V\) an. Bestimmen Sie die Flussdichte im Luftspalt.
  4. Ein Lernender schlägt vor, statt des Halbleiters ein gleich großes Kupferplättchen zu verwenden; in Kupfer ist \(n_\text{Cu} = 8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}\). Berechnen Sie die Hallspannung dieses Plättchens für \(B = 40\,\mathrm{mT}\) und begründen Sie damit, warum Hallsonden aus dünnen Halbleiterplättchen gebaut werden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gehe in vier Schritten vor: (1) Wie bewegen sich die Elektronen im Plättchen, wenn der Steuerstrom fließt? (2) Welche Kraft übt das Magnetfeld auf sie aus — nutze \(F = e\,v\,B\) und die Drei-Finger-Regel? (3) Was passiert dadurch an den beiden Kanten? (4) Welche Kraft wirkt der magnetischen Kraft entgegen, sobald die Kanten geladen sind? Für den letzten Schritt hilft \(E = \frac{U}{d}\) und der Vergleich mit dem Kräftegleichgewicht im Wien-Filter.„Erklären“ heißt: den Sachverhalt auf Gesetzmäßigkeiten zurückführen — hier auf die Lorentzkraft und das Kräftegleichgewicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze die Werte in \(U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\) ein. Rechne vorher alle Größen in SI-Einheiten um: \(40\,\mathrm{mT}\) in Tesla, \(20\,\mathrm{mA}\) in Ampere, \(0{,}25\,\mathrm{mm}\) in Meter. Es lohnt sich, zuerst den Nenner \(n\,e\,d\) auszurechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Stelle \(U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\) nach \(B\) um. Der Nenner \(n\,e\,d\) ist derselbe wie in Teilaufgabe b).
Hinweis zu Aufgabe d)
Nur \(n\) ändert sich; alle anderen Größen bleiben gleich. Du kannst deshalb auch mit dem Verhältnis \(\frac{n}{n_\text{Cu}}\) arbeiten. Vergleiche das Ergebnis mit den Thermospannungen an den Kontakten, die im Bereich von Mikrovolt liegen.