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Selbstinduktion

Eine Spule bremst jede Änderung ihres eigenen Stroms – beim Einschalten verzögert sie den Anstieg, beim Ausschalten erzeugt sie eine Spannungsspitze.

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Strom gegen sich selbst

Bisher entstand die Flussänderung durch einen Magneten oder eine zweite Spule. Eine Spule erzeugt aber selbst ein Magnetfeld – ändert sich ihr Strom, ändert sich auch ihr eigener Fluss.

  • Selbstinduktion:Ändert sich die Stromstärke in einer Spule, wird in derselben Spule eine Spannung induziert – die Selbstinduktionsspannung.
  • Einschaltversuch:Zwei gleiche Lampen liegen parallel an einer Quelle, vor der einen eine Spule mit Eisenkern, vor der anderen ein Widerstand gleichen Werts. Nach dem Schließen leuchtet die Lampe an der Spule erst verzögert voll auf.
  • Ausschaltversuch:Parallel zur Spule liegt eine Glimmlampe, die erst ab etwa 100 V leuchtet. Obwohl die Quelle nur 6 V liefert, blitzt sie beim Öffnen des Schalters kurz auf.
  • Deutung nach Lenz:Die Selbstinduktionsspannung wirkt jeder Stromänderung entgegen: Beim Einschalten bremst sie den Anstieg, beim Ausschalten treibt sie den Strom noch kurz weiter.
  • Konstanter Strom:Bleibt die Stromstärke gleich, wird nichts induziert; die Spule wirkt dann nur über den Widerstand ihres Drahtes.

Legen Sie mit ▶ den Schalter um und beobachten Sie beide Lampen und den Verlauf der Stromstärken. Ein zweiter Klick öffnet den Schalter wieder. Vergleichen Sie anschließend Spulen mit und ohne Eisenkern sowie mit verschiedenen Windungszahlen.

Ein- und Ausschalten mit Spule

Halte fest: Die Spule verzögert jede Änderung ihres eigenen Stroms – mit Eisenkern und mehr Windungen deutlich stärker. Beim Öffnen fließt ihr Strom noch kurz weiter, und zwar rückwärts durch die zweite Lampe.

Merke

Selbstinduktion: Jede Änderung der Stromstärke in einer Spule induziert in ihr selbst eine Spannung, die dieser Änderung entgegenwirkt.

Einschalten: Der Strom steigt verzögert auf seinen Endwert.

Ausschalten: Der Strom fließt kurz weiter; dabei kann die Spannung an der Spule weit über der Quellspannung liegen.

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Induktivität und Energie

Wie stark sich eine Spule gegen Stromänderungen wehrt, hängt nur von ihrem Bau ab. Diese Eigenschaft heißt Induktivität \(L\).

  • Eigener Fluss:In einer langen Spule gilt \(B=\mu_0\,\mu_r\,\dfrac{N}{l}\,I\); der Fluss \(\Phi=B\,A\) durch jede Windung ist also proportional zur Stromstärke.
  • Induktivität:\(L\) fasst alle Baugrößen der Spule zu einer Konstanten zusammen; Einheit \(1\,\mathrm{H}=1\,\tfrac{\mathrm{V\cdot s}}{\mathrm{A}}\) (Henry).
  • Windungszahl:\(N\) geht quadratisch ein: Mehr Windungen verstärken das Feld und greifen zugleich mehr Spannung ab.
  • Änderungsrate:\(\dfrac{dI}{dt}\) ist die momentane Änderungsrate der Stromstärke; ändert sich \(I\) gleichmäßig, ist sie gleich \(\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\).

Herleitung:

\(U_{ind}=-N\,\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\)
| \(\Phi=B\,A\)
Induktionsgesetz für die Spule selbst; die Querschnittsfläche \(A\) bleibt gleich.
\(U_{ind}=-N\,A\,\dfrac{\Delta B}{\Delta t}\)
| \(B=\mu_0\,\mu_r\,\tfrac{N}{l}\,I\)
Im Feld der langen Spule ändert sich nur die Stromstärke.
\(U_{ind}=-\mu_0\,\mu_r\,\dfrac{N^2 A}{l}\cdot\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\)
| \(\Delta t\to 0\)
Alle Baugrößen stehen vorn; für beliebige Verläufe wird \(\tfrac{\Delta I}{\Delta t}\) zur momentanen Änderungsrate.
\(U_{ind}=-L\,\dfrac{dI}{dt}\ \text{ mit }\ L=\mu_0\,\mu_r\,\dfrac{N^2 A}{l}\)
Ergebnis
Das Minuszeichen ist die Lenzsche Regel: Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen.

Energie im Magnetfeld

Beim Einschalten muss die Quelle gegen die Selbstinduktionsspannung Energie aufbringen. Sie steckt danach im Magnetfeld der Spule und wird beim Ausschalten wieder frei – etwa als Lichtblitz der Glimmlampe.

Herleitung:

\(\Delta W=U\cdot I\cdot\Delta t\)
| \(U=L\,\tfrac{\Delta I}{\Delta t}\)
In einem kurzen Zeitabschnitt bringt die Quelle gegen die Gegenspannung diese Energie auf (Beträge).
\(\Delta W=L\cdot I\cdot\Delta I\)
| summieren
Im Diagramm \(L\,I\) über \(I\) ist das ein schmaler Streifen unter der Ursprungsgeraden.
\(W=\tfrac12\,L\,I^2\)
Ergebnis
Die Streifen füllen von \(0\) bis \(I\) ein Dreieck – genau wie beim Kondensator mit \(W=\tfrac12\,C\,U^2\).
Merke

Induktivität der langen Spule:

\(L=\mu_0\,\mu_r\,\dfrac{N^2 A}{l}\)

Selbstinduktionsspannung:

\(U_{ind}=-L\,\dfrac{dI}{dt}\)

Energie im Magnetfeld:

\(W=\tfrac12\,L\,I^2\)

Einheit: \(1\,\mathrm{H}=1\,\tfrac{\mathrm{V\cdot s}}{\mathrm{A}}\)

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Allgemeine Hinweise

Änderung, nicht Strom

Die Selbstinduktionsspannung hängt nur davon ab, wie schnell sich die Stromstärke ändert, nicht von ihrer Größe. Bei konstantem Gleichstrom ist sie null, auch wenn ein großer Strom fließt.

N zählt doppelt

Doppelte Windungszahl bei gleicher Länge vervierfacht die Induktivität. Ein Eisenkern vergrößert sie zusätzlich um den Faktor \(\mu_r\).

Funken beim Abschalten

Wird der Strom einer großen Spule schlagartig unterbrochen, entsteht eine sehr hohe Spannung, die am Schalter einen Funken erzeugen kann. Deshalb gibt man der Spule über ein parallel geschaltetes Bauteil einen Weg, auf dem der Strom langsam abklingen kann.

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