Die Kraft zwischen zwei Punktladungen
Zwei geladene Kugeln ziehen sich an oder stoßen sich ab, ohne sich zu berühren. Charles Augustin de Coulomb hat 1785 mit einer empfindlichen Drehwaage gemessen, wovon diese Kraft abhängt: von den beiden Ladungen und von ihrem Abstand. Das Ergebnis gilt exakt für Punktladungen.
- Punktladung:Ein geladener Körper, dessen Ausdehnung klein gegenüber dem Abstand zu anderen Ladungen ist. Bei geladenen Kugeln zählt der Abstand \(r\) von Mittelpunkt zu Mittelpunkt.
- Ladungen:\(F\sim Q_1\) und \(F\sim Q_2\): Verdoppelt man eine der beiden Ladungen, verdoppelt sich die Kraft.
- Abstandsgesetz:\(F\sim\dfrac{1}{r^{2}}\): Beim doppelten Abstand wirkt nur noch ein Viertel, beim dreifachen ein Neuntel der Kraft.
- Feldkonstante:Der Proportionalitätsfaktor enthält die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\,\mathrm{\tfrac{C^{2}}{N\,m^{2}}}\); damit ist \(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}99\cdot10^{9}\,\mathrm{\tfrac{N\,m^{2}}{C^{2}}}\).
- Richtung:Die Kraft wirkt längs der Verbindungslinie: gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.
- Wechselwirkung:Beide Ladungen erfahren gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte — auch dann, wenn ihre Ladungen verschieden groß sind.
Gezeichnet ist jeweils die Kraft auf die linke Ladung; auf die rechte wirkt eine gleich große Kraft in Gegenrichtung.
Ziehe die rechte Ladung (oder nutze die Pfeiltasten) und stelle mit den Reglern beide Ladungen ein. Mit ▶ entfernt sich die rechte Ladung gleichmäßig — achte darauf, wie schnell die Kraftpfeile schrumpfen.
Die rechte Ladung ist mit den Pfeiltasten um 0,5 cm verschiebbar, Pos1 setzt sie zurück.
Halte fest: Beide Ladungen erfahren stets gleich große, entgegengesetzte Kräfte. Doppelte Ladung bedeutet doppelte Kraft, doppelter Abstand nur noch ein Viertel der Kraft.
Coulomb-Gesetz:
\(F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q_1\cdot Q_2}{r^{2}}\)
\(Q_1,\,Q_2\): Ladungen der beiden Punktladungen in C; \(r\): Abstand ihrer Mittelpunkte in m.
\(\varepsilon_0\): elektrische Feldkonstante, \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\,\mathrm{\tfrac{C^{2}}{N\,m^{2}}}\); es gilt \(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}99\cdot10^{9}\,\mathrm{\tfrac{N\,m^{2}}{C^{2}}}\).
Abstandsgesetz: \(F\sim\dfrac{1}{r^{2}}\) — doppelter Abstand, ein Viertel der Kraft.
Richtung: längs der Verbindungslinie; gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Beide Ladungen erfahren gleich große, entgegengesetzte Kräfte.
Das radiale Feld einer Punktladung
Bringt man eine kleine Probeladung \(q\) in die Nähe einer Punktladung \(Q\), wirkt auf sie die Coulomb-Kraft. Teilt man diese Kraft durch \(q\), erhält man nach \(E=\dfrac{F}{q}\) die Feldstärke, die \(Q\) an diesem Ort erzeugt — ohne dass die Probeladung im Ergebnis noch vorkommt.
Herleitung:
- Radiales Feld:Die Feldlinien einer Punktladung laufen strahlenförmig vom Mittelpunkt weg (positiv) bzw. auf ihn zu (negativ); der Betrag \(E\) nimmt mit \(\dfrac{1}{r^{2}}\) ab.
- Homogenes Feld:Im Plattenkondensator haben Betrag und Richtung von \(E\) überall denselben Wert — anders als im radialen Feld, wo sich beides von Ort zu Ort ändert.
- Geladene Kugel:Außerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugel ist das Feld genau so, als säße die gesamte Ladung im Mittelpunkt.
- Gravitation:Zwei Massen ziehen sich nach \(F_G=G\cdot\dfrac{m_1\cdot m_2}{r^{2}}\) an (Gravitationskonstante \(G\)) — dasselbe Abstandsgesetz wie bei Ladungen.
| Merkmal | Coulomb-Kraft | Gravitationskraft |
|---|---|---|
| Ursache | Ladungen \(Q_1,\,Q_2\) | Massen \(m_1,\,m_2\) |
| Abstandsgesetz | \(F\sim\dfrac{1}{r^{2}}\) | \(F\sim\dfrac{1}{r^{2}}\) |
| Wirkung | Anziehung oder Abstoßung | nur Anziehung |
| Stärke | zwischen Proton und Elektron rund \(10^{39}\)-mal größer | bei Atomen und Molekülen vernachlässigbar |
| Abschirmung | durch einen geschlossenen Leiter möglich | nicht möglich |
Feldstärke einer Punktladung:
\(E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q}{r^{2}}\)
Radiales Feld: Feldlinien strahlenförmig, \(E\) nimmt mit \(\dfrac{1}{r^{2}}\) ab; außerhalb einer geladenen Kugel zählt \(r\) ab ihrem Mittelpunkt.
Homogenes Feld: im Plattenkondensator überall gleicher Betrag und gleiche Richtung.
Gravitation: \(F_G=G\cdot\dfrac{m_1\cdot m_2}{r^{2}}\) folgt demselben Abstandsgesetz, wirkt aber nur anziehend, ist viel schwächer und lässt sich nicht abschirmen.
Allgemeine Hinweise
Abstand in Metern einsetzen
Bei Kugeln zählt der Abstand der Mittelpunkte, nicht der Spalt zwischen den Oberflächen. Rechne \(r\) vor dem Quadrieren in Meter um — sonst liegt das Ergebnis um Zehnerpotenzen daneben.
Doppelter Abstand ist nicht halbe Kraft
Wegen \(F\sim\tfrac{1}{r^{2}}\) sinkt die Kraft beim doppelten Abstand auf ein Viertel. Nur bei den Ladungen ist der Zusammenhang proportional.
Betrag und Richtung trennen
Rechne den Betrag der Kraft mit den Beträgen der Ladungen aus. Die Richtung bestimmst du danach: gleichnamig heißt Abstoßung, ungleichnamig Anziehung.