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Spektrallinien und Niveaus

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

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Vom Termschema zur Spektrallinie

AFB II

Für das Wasserstoffatom gilt \(E_n = -\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}\); Material M1 zeigt die fünf untersten Niveaus. Eine Spektrallinie entsteht, wenn ein Elektron von einem höheren auf ein tieferes Niveau fällt. Rechnen Sie mit \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\); der sichtbare Bereich reicht von etwa \(380\,\mathrm{nm}\) bis \(780\,\mathrm{nm}\).

M1Energieniveauschema des Wasserstoffatoms
E in eVIonisierungsgrenze E = 0 (Elektron frei)n = 1−13,60 eVn = 2−3,40 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVÜbergang 3 → 1Die fünf untersten Niveaus und die Ionisierungsgrenze
  1. Begründen Sie, warum in M1 alle Energieniveaus negative Werte haben.
  2. Berechnen Sie Energie und Wellenlänge des Photons für den in M1 eingezeichneten Übergang \(3 \to 1\).
  3. Im Spektrum einer Wasserstofflampe wird eine violettblaue Linie bei \(434\,\mathrm{nm}\) gemessen. Bestimmen Sie den zugehörigen Übergang.
  4. Begründen Sie, warum von allen Serien des Wasserstoffs nur die Serie mit dem Zielniveau \(n=2\) im sichtbaren Bereich liegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Überlege, was der Nullpunkt der Energieskala bedeutet und was man tun müsste, um das Elektron dorthin zu bringen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bilde \(\Delta E = E_3 - E_1\) und achte auf das doppelte Minuszeichen. Danach \(\lambda = \frac{1240}{\Delta E}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne zuerst die Photonenenergie aus. Sichtbare Wasserstofflinien gehören alle zur selben Serie — das Zielniveau ist damit bekannt, gesucht ist nur noch das Startniveau.
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechne für jede Serie den kleinsten möglichen Sprung aus: für Zielniveau 1 den Sprung \(2\to1\), für Zielniveau 3 den Sprung \(4\to3\). Vergleiche die zugehörigen Wellenlängen mit dem sichtbaren Fenster.„Begründen“ verlangt eine lückenlose Argumentationskette — hier gestützt auf konkrete Zahlenwerte.