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Das Pauli-Prinzip

Warum drängen sich nicht alle Elektronen im tiefsten Niveau? Ein einziges Verbot ordnet die Schalen, das Periodensystem und sogar die Farbe von Farbstoffen.

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Vier Quantenzahlen pro Elektron

Der Spin als vierte Quantenzahl

Ein Orbital ist durch \(n\), \(l\) und \(m\) festgelegt. Um ein einzelnes Elektron vollständig zu beschreiben, fehlt noch eine Eigenschaft des Elektrons selbst:

  • Hauptquantenzahl \(n\):\(n=1,2,3,\dots\) legt die Schale fest, also grob Energie und Größe. Die Schalen heißen K, L, M, … für \(n=1,2,3,\dots\)
  • Nebenquantenzahl \(l\):\(l=0,1,\dots,n-1\) legt die Form fest. Kurzzeichen: s (\(l=0\)), p (\(l=1\)), d (\(l=2\)), f (\(l=3\)). Alle Orbitale mit gleichem \(n\) und \(l\) bilden eine Unterschale, z. B. 2p.
  • Magnetquantenzahl \(m\):\(m=-l,\dots,0,\dots,+l\) legt die Orientierung fest. Zu jedem \(l\) gehören \(2l+1\) Orbitale.
  • Spinquantenzahl \(s\):Jedes Elektron besitzt einen Eigendrehimpuls, den Spin. Er kennt nur zwei Einstellungen: \(s=+\tfrac12\) („Spin auf“, ↑) oder \(s=-\tfrac12\) („Spin ab“, ↓).

Herleitung:

Wie viele verschiedene Kombinationen \((n,l,m,s)\) gehören zur Schale \(n\)? Erst werden die Orbitale gezählt, dann kommt der Spin hinzu.

\(N_{\text{Orb}}=1+3+5+\dots+(2n-1)\)
| \(2l+1\) je \(l\)
Für jedes \(l=0,\dots,n-1\) gibt es \(2l+1\) Orbitale: Das sind die ersten \(n\) ungeraden Zahlen.
\(N_{\text{Orb}}=n^2\)
| \(\cdot\,2\)
Die Summe der ersten \(n\) ungeraden Zahlen ist \(n^2\). Jedes Orbital lässt zwei Spin-Einstellungen zu.
\(z_n=2n^2\)
Ergebnis
So viele Zustände besitzt die Schale \(n\): K 2, L 8, M 18.
Merke

Quantenzahlen und Zustände:

\(n=1,2,3,\dots\qquad l=0,\dots,n-1\qquad m=-l,\dots,+l\qquad s=\pm\tfrac12\qquad z_n=2n^2\)

Zustand eines Elektrons: Die vier Quantenzahlen \(n,l,m,s\) beschreiben ihn vollständig; \(s\) gibt die Spin-Einstellung an (↑ oder ↓).

Schale \(n\): Sie besitzt \(n^2\) Orbitale und \(2n^2\) Zustände.

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Das Pauli-Prinzip ordnet die Hülle

Das Verbot

Elektronen besetzen bevorzugt die energetisch tiefsten Zustände. Dass sie sich trotzdem nicht alle in der K-Schale sammeln, liegt an einem Grundprinzip, das Wolfgang Pauli 1925 formulierte:

  • Pauli-Prinzip:In einem Atom stimmen keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen überein.
  • Folge für ein Orbital:Bei gleichem \(n\), \(l\) und \(m\) bleibt nur der Spin als Unterschied. Ein Orbital nimmt daher höchstens zwei Elektronen auf, eines mit ↑ und eines mit ↓.
  • Grundzustand:Die Elektronen füllen von unten nach oben die tiefsten noch freien Zustände. Eine Schale fasst dabei höchstens \(2n^2\) Elektronen.
  • Schreibweise:Die Besetzung heißt Elektronenkonfiguration. Hochgestellt steht die Zahl der Elektronen je Unterschale, beim Kohlenstoff (\(Z=6\)) also 1s² 2s² 2p².

Der Aufbau des Periodensystems

Ein neutrales Atom mit der Ordnungszahl \(Z\) besitzt \(Z\) Elektronen. Von Element zu Element kommt genau ein Elektron hinzu – das Pauli-Prinzip bestimmt, wohin:

  • Perioden:Mit jeder Periode beginnt eine neue Schale. Die erste Periode endet bei \(Z=2\) (K voll), die zweite bei \(Z=10\) (L voll).
  • Außenelektronen:So heißen die Elektronen der äußersten besetzten Schale. Elemente einer Gruppe haben gleich viele Außenelektronen und verhalten sich deshalb chemisch ähnlich.
  • Edelgase und Alkalimetalle:Edelgase (He, Ne, Ar) haben außen voll besetzte s- und p-Unterschalen und sind reaktionsträge. Alkalimetalle (Li, Na) besitzen ein einzelnes Außenelektron, das sie leicht abgeben.

Stelle mit dem Regler eine Ordnungszahl ein und lass die Elektronen mit ▶ eines nach dem anderen einfüllen. In den drei p-Kästchen verteilen sie sich zuerst einzeln. Beobachte rechts, wann eine Schale ihre Plätze ausschöpft.

Elektronen einfüllen

Halte fest: Jedes Kästchen (Orbital) nimmt höchstens zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin auf. Bei \(Z=2\), \(10\) und \(18\) sind die äußeren Unterschalen voll – das sind die Edelgase Helium, Neon und Argon.

Zwei Elektronen pro Zustand im Potenzialtopf

Auch im eindimensionalen Potenzialtopf gilt das Pauli-Prinzip. Dort gibt es außer \(n\) nur den Spin, also passen in jedes Niveau \(E_n\) genau zwei Elektronen. Bei einem Farbstoffmolekül mit \(N\) frei beweglichen Elektronen (\(N\) gerade) sind die Niveaus \(n=1\) bis \(n=\tfrac N2\) voll besetzt. Die langwelligste Absorption hebt ein Elektron aus dem höchsten besetzten Niveau \(n=\tfrac N2\) in das niedrigste freie \(n=\tfrac N2+1\).

Herleitung:

\(\Delta E=E_{N/2+1}-E_{N/2}\)
| \(E_n\) einsetzen
Übergang vom höchsten besetzten in das niedrigste freie Niveau.
\(\Delta E=\left[\left(\tfrac N2+1\right)^{2}-\left(\tfrac N2\right)^{2}\right]\dfrac{h^2}{8mL^2}\)
| ausmultiplizieren
Mit \(E_n=\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}\); die eckige Klammer ergibt \(2\cdot\tfrac N2+1=N+1\).
\(\Delta E=(N+1)\,\dfrac{h^2}{8mL^2}\)
Ergebnis
Die Energie der langwelligsten Absorption; daraus folgt \(\lambda=\dfrac{h\,c}{\Delta E}\).
Merke

Pauli-Prinzip:

\(\text{höchstens 2 Elektronen pro Orbital}\qquad\text{höchstens }2n^2\text{ Elektronen pro Schale}\)

\(\text{Potenzialtopf mit }N\text{ Elektronen:}\quad \Delta E=(N+1)\,\dfrac{h^2}{8mL^2}\)

Verbot: In einem Atom stimmen keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen \(n,l,m,s\) überein.

Periodensystem: Die Elektronen füllen die tiefsten freien Zustände; jede Periode beginnt eine neue Schale, Elemente einer Gruppe haben gleich viele Außenelektronen.

Potenzialtopf: Jedes Niveau fasst zwei Elektronen; bei \(N\) Elektronen ist \(n=\tfrac N2\) das höchste besetzte Niveau.

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Allgemeine Hinweise

Schale ist nicht Periode

Die M-Schale fasst \(2\cdot3^2=18\) Elektronen, die dritte Periode endet aber schon bei Argon mit 8 Außenelektronen. Im Atom mit vielen Elektronen hängt die Energie auch von \(l\) ab, deshalb wird 4s vor 3d besetzt.

Erst Orbitale, dann mal 2

Zähle zu jedem \(l\) die \(2l+1\) Orbitale und verdopple erst am Ende wegen des Spins. So kommst du sicher auf \(n^2\) Orbitale und \(2n^2\) Elektronen.

Im Topf paarweise füllen

Bei \(N\) Elektronen ist im Potenzialtopf \(n=\tfrac N2\) das höchste besetzte Niveau, nicht \(n=N\). Wer den Spin vergisst, erhält eine viel zu große Energiedifferenz und eine viel zu kleine Wellenlänge.

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