Ein gespannter Bogen bewegt sich nicht und liegt nicht oben — die Energie steckt in der Verformung selbst. Dazu der erste Blick auf ein Diagramm.
Die dritte Energieformel — und der erste Blick auf eine Fläche im Diagramm.
Ein gespannter Flitzebogen bewegt sich nicht und liegt nicht hoch oben — schießen kann er trotzdem.
Spannenergie
Spannenergie: Ein verformter Körper besitzt sie, sie heißt auch elastische Energie.
Abhängigkeit: Sie hängt von der Federkonstante \(D\) und der Dehnung \(s\) ab; \(s\) geht quadriert ein.
Warum das ½ diesmal wirklich nur die Fläche eines Dreiecks ist.
Je weiter du eine Feder dehnst, desto stärker zieht sie zurück.
Die Federkraft wächst gleichmäßig mit der Dehnung:
F = D · s
F: Federkraft in Newton (N).
D: Federkonstante in Newton pro Meter (N/m).
s: Dehnung in Metern (m).
Hookesches Gesetz: Die Federkraft wächst gleichmäßig mit der Dehnung. Die Federkonstante \(D\) sagt, wie hart die Feder ist: \(D=20\,\mathrm{N/m}\) heißt, 20 N dehnen sie um 1 m.
Faktor ½: Die Spannenergie ist die Fläche unter der Geraden im Kraft-Dehnungs-Diagramm, also ein Dreieck. Doppelte Dehnung ergibt vierfache Energie.
Die Federkonstante D beschreibt, wie hart eine Feder ist.
Beim Spannen ist die Kraft nicht die ganze Zeit gleich groß — daher das ½.
Spannenergie aus Federkonstante und Dehnung:
Espann = ½ · D · s²
Espann: Spannenergie in Joule (J).
D: Federkonstante in Newton pro Meter (N/m).
s: Dehnung in Metern (m); sie geht quadriert ein.
Das ½ ist also kein Trick, sondern schlicht die Fläche eines Dreiecks — dasselbe Argument steckt hinter dem ½ in der Bewegungsenergie.
Die Herleitung über die Dreiecksfläche liest sich abstrakt — sehen kann man sie aber sofort. Im Applet dehnst du eine Feder und siehst gleichzeitig, wie im Kraft-Weg-Diagramm die orange Fläche mitwächst. Diese Fläche ist nicht ähnlich der Spannenergie, sie ist sie.
Links siehst du die Feder, rechts das Kraft-Weg-Diagramm. Die orange Fläche ist die gespeicherte Spannenergie.
Vergleiche zwei Einstellungen: Bei doppelter Dehnung wird die Fläche nicht doppelt, sondern viermal so groß — das Dreieck wächst ja in Breite und Höhe. Bei doppelter Federkonstante wird nur die Gerade steiler, die Fläche verdoppelt sich. Genau das steht in der Formel: s im Quadrat, D einfach.
Die Einheiten ergeben tatsächlich Joule:
N/m · m² = N · m = J
Ein Meter kürzt sich weg, übrig bleibt Newtonmeter — also Joule.
Nach D oder nach s umgestellt:
D = (2 · E) : s² s = √(2 · E : D)
Wie bei der Bewegungsenergie gilt: Wer nach der quadrierten Größe sucht, zieht zum Schluss die Wurzel.
Die Tabelle aus dem Arbeitsblatt: dieselbe Formel, dreimal nach einer anderen Größe aufgelöst — jeweils mit den Umformungsschritten daneben.
| Spannenergie Espann | Federkonstante D | Auslenkung s |
|---|---|---|
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Espann = ½ · D · s²
Espann – Spannenergie in J
D – Federkonstante in N/m s – Auslenkung in m |
½ · D · s² = Espann| · 2
D · s² = 2 · Espann| : s²
D = (2 · Espann) : s²
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½ · D · s² = Espann| · 2
D · s² = 2 · Espann| : D
s² = (2 · Espann) : D| √
s = √( (2 · Espann) : D )
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Unterrichtsmitschrift Spannenergie · Arbeitsblatt „Spannenergie“, Aufgaben 1 und 2
Drei Stellen, an denen es bei der Spannenergie oft hakt:
Rechne die Dehnung zuerst in Meter um — Zentimeter durch 100, Millimeter durch 1000 — und quadriere erst danach.
Der Faktor ½ gehört dazu; ohne ihn kommt genau das Doppelte heraus.
Verwechsle F (Kraft in N) nicht mit D (Federkonstante in N/m) — die Einheit verrät dir, welche Größe gemeint ist.