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Rechnen: Lageenergie

Ein Ziegelstein auf dem Gerüst tut nichts — und ist trotzdem gefährlich. Rund um E = m · g · h und die Frage, ab wo man die Höhe eigentlich misst.

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Einstieg — Energie, die einfach nur oben liegt

Die zweite große Energieformel — und die Frage, ab wo man die Höhe eigentlich misst.

Ein Ziegelstein auf dem Dachgerüst tut nichts — und ist trotzdem gefährlich.

  • Lageenergie:Diese Energie besitzt ein Körper allein aufgrund seiner Höhe.
  • Zweiter Name:Man nennt sie auch potenzielle Energie, kurz Epot.
  • Drei Größen:Sie hängt von der Masse m, der Höhe h und dem Ortsfaktor g ab.
  • Nicht das Tempo:Wie schnell der Stein ist, spielt keine Rolle — nur, wie hoch er liegt.
  • Kein Quadrat:Anders als bei der Bewegungsenergie geht hier keine Größe quadriert ein.
Merke

Lageenergie

Lageenergie: Ein Körper besitzt sie allein aufgrund seiner Höhe, sie heißt auch potenzielle Energie.

Abhängigkeit: Sie hängt von Masse \(m\), Höhe \(h\) und Ortsfaktor \(g\) ab; die Geschwindigkeit spielt keine Rolle.

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Erklärung — E = m · g · h — Energie zum Heben, Ortsfaktor, Bezugsniveau

Eine Formel ohne Quadrat, dafür mit einer Entscheidung, die du selbst treffen musst.

Woher kommt die Formel?

Die Formel folgt direkt aus der Energie, die du beim Anheben aufwendest.

  • Energie zum Heben:Wer einen Körper anhebt, muss gegen dessen Gewichtskraft Energie aufwenden.
  • Kraft mal Weg:Die Kraft ist die Gewichtskraft F = m · g, der Weg ist die Hubhöhe h.
  • Gespeichert:Die zum Heben nötige Energie steckt danach als Zunahme der Lageenergie im Körper.
Merke

Lageenergie aus Masse, Ortsfaktor und Höhe:

Epot = m · g · h

Epot: Lageenergie in Joule (J).

m: Masse in Kilogramm (kg).

g: Ortsfaktor, auf der Erde 9,81 N/kg.

h: Höhe über dem Bezugsniveau in Metern (m).

Ortsfaktor: Auf der Erde ist \(g=9{,}81\,\mathrm{N/kg}\), für Überschläge darf man mit \(10\,\mathrm{N/kg}\) rechnen.

Bezugsniveau: Die Höhe \(h=0\) legt man selbst fest und bleibt in einer Aufgabe dabei. Der Wert von \(E_\mathrm{pot}\) hängt davon ab, die Änderung der Lageenergie nicht.

Den Ortsfaktor g entnimmst du nicht der Aufgabe, sondern der Formelsammlung.

  • Konstante:Auf der Erde beträgt der Ortsfaktor g = 9,81 N/kg.
  • Auf dem Mond:Dort sind es nur 1,62 N/kg — derselbe Stein hätte gut ein Sechstel der Lageenergie.
  • Überschlag:Im Kopf darfst du mit g ≈ 10 N/kg rechnen.
  • Mit Taschenrechner:Dort nimmst du immer den genauen Wert 9,81 N/kg.

Die Einheitenprobe

Dass am Ende wirklich Joule herauskommt, kannst du nachrechnen.

Merke

Die Einheiten ergeben tatsächlich Joule:

kg · N/kg · m = N · m = J

Die Kilogramm kürzen sich weg. Übrig bleibt Newtonmeter — und ein Newtonmeter ist ein Joule.

Ab wo misst man die Höhe?

Die Höhe misst du nicht von irgendwo — den Nullpunkt legst du selbst fest.

  • Bezugsniveau:Das ist die Höhe, die du als h = 0 definierst und von der aus du alles misst.
  • Freie Wahl:Fußboden, Tischplatte oder Kellerboden — du darfst es dir aussuchen.
  • Folge:Der Zahlenwert von Epot ändert sich mit dieser Wahl.
  • Trotzdem eindeutig:Meist zählt nur die Änderung der Lageenergie, und die ist bei jedem Niveau gleich groß.
  • Pflicht:Schreibe dein gewähltes Niveau auf und bleibe innerhalb einer Aufgabe dabei.

Das Bezugsniveau ist der Punkt, an dem die meisten Fehler passieren — und der Punkt, den man am besten sieht, wenn man ihn selbst verschiebt. Die Kiste im Applet bleibt die ganze Zeit an derselben Stelle stehen. Nur die Linie, ab der du die Höhe misst, wanderst du herum.

Der Höhen-Nullpunkt

Dieselbe Kiste, dieselbe Masse — aber drei verschiedene Bezugsniveaus für h = 0.

Regalbrett Tischplatte Fußboden Kellerboden Kiste
Das Bezugsniveau steht auf dem Startwert.

Drei Beobachtungen lohnen sich: Auf dem Regalbrett selbst ist h = 0 und damit E = 0. Vom Kellerboden aus gemessen ist dieselbe Kiste plötzlich am energiereichsten. Und egal welches Niveau du wählst — der Unterschied zwischen zwei Niveaus bleibt immer gleich. Genau deshalb darfst du dir das Niveau aussuchen.

Die Formel umstellen

Merke

Nach h oder nach m umgestellt:

h = E : (m · g)     m = E : (g · h)

Beide Male teilst du durch das Produkt der beiden übrigen Größen — rechne den Nenner zuerst aus.

Aus dem Unterricht

Die Formel an der Tafel — und das Formeldreieck

Bei Epot stellt man nicht um, sondern deckt zu. Genau dieses Dreieck stand im Heft.

Merke

Dieselbe Formel, wie sie an der Tafel stand:

Epot = m · g · h

Epot: Energie in Joule (J).

m: Masse in Kilogramm (kg).

g: Erdbeschleunigung, 9,81 m/s².

h: Höhe in Metern (m).

E pot m · g · h

So liest man es:

  • Epot gesucht:Zudecken → unten bleibt m · g · h, also Epot = m · g · h.
  • h gesucht:Zudecken → oben bleibt Epot, unten m · g, also h = Epot : (m · g).
  • m gesucht:Genauso zudecken: m = Epot : (g · h).
Aus dem Unterricht mitgenommen: Bei Epot steht kein Quadrat in der Formel — deshalb gibt es hier auch nie eine Wurzel. Umrechnen musst du trotzdem: 250 cm sind 2,5 m.

Unterrichtsmitschrift Lageenergie

Interaktiv: Der Höhen-Nullpunkt

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Hinweise — Damit nichts schiefgeht

Drei Stellen, an denen es bei der Lageenergie oft hakt:

Erst Einheiten umrechnen

Rechne zuerst um: Masse in Kilogramm, Höhe in Metern — Gramm durch 1000, Zentimeter durch 100.

Ein Bezugsniveau festlegen

Nenne dein Bezugsniveau und benutze es in der ganzen Aufgabe, sonst passen deine Höhen nicht zusammen.

Senkrechte Höhe verwenden

Nimm die senkrechte Höhe statt der Rampenlänge und rechne mit g = 9,81 N/kg.

Videos zur Lageenergie