Aufgabenblock — AFB III
Auf dieser Stufe geht es ums Begründen, Verallgemeinern und Beurteilen. Rechnen allein reicht nicht mehr: Du sollst Herleitungen nachvollziehen, Grenzfälle erklären, Behauptungen widerlegen und rückwärts von der Bedingung auf die Größen schließen. Formuliere jede Antwort erst selbst — schriftlich, in ganzen Sätzen — und klappe danach die Musterlösung auf, um sie zu vergleichen. Jede aufgeklappte Musterlösung zählt als erledigt.
Begründe in 3–4 Sätzen, warum sich der Abbildungsmaßstab β = B/G auch als b/g schreiben lässt — also ohne dass man B oder G überhaupt kennt.
Hinweis: Es genügt ein ausgezeichneter Strahl. Welcher davon geht ungebrochen durch die Linse?
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Musterlösung: Der Mittelpunktstrahl trifft die Linsenmitte und läuft dort ungebrochen weiter; er ist also eine durchgehende Gerade von der Gegenstandsspitze zur Bildspitze. Vor der Linse bildet er mit der optischen Achse und dem Gegenstand ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten G und g, hinter der Linse eines mit den Katheten B und b. Beide Dreiecke haben je einen rechten Winkel an der Achse, und an der Linsenmitte sind ihre Winkel Scheitelwinkel, also gleich groß — die Dreiecke sind damit ähnlich. Aus dem Verhältnis entsprechender Seiten folgt unmittelbar B : G = b : g, also β = B/G = b/g. Praktisch heißt das: Man kann β wahlweise mit dem Lineal am Schirm oder auf der optischen Bank bestimmen — beide Wege müssen denselben Wert liefern.
Aus dem Mittelpunktstrahl folgt B/G = b/g, aus dem Parallelstrahl B/G = (b − f)/f.
Leite daraus die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b her und schreibe jeden Umformungsschritt auf.
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Musterlösung: Gleichsetzen ergibt b/g = (b − f)/f. Multiplikation mit g·f liefert b·f = g·(b − f) = g·b − g·f. Bringt man g·f nach links, folgt g·f + b·f = g·b. Division durch g·b·f ergibt 1/b + 1/g = 1/f — das ist die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b.
Bemerkenswert daran: Zwei rein geometrische Aussagen über ähnliche Dreiecke ergeben zusammen eine Gleichung, in der die Bildgröße gar nicht mehr auftaucht. Sind zwei der drei Größen g, b, f bekannt, ist die dritte damit bestimmt.
Erkläre auf zwei Wegen, warum bei g = f kein Bild entsteht: einmal geometrisch am Strahlengang, einmal rechnerisch an der Formel b = g·f/(g − f).
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Musterlösung: Geometrisch: Steht die Gegenstandsspitze genau im Abstand f vor der Linse, so läuft der Parallelstrahl hinter der Linse durch den Brennpunkt F′ und der Mittelpunktstrahl ungebrochen durch die Linsenmitte. Beide Strahlen haben dasselbe Gefälle G/f, sie verlaufen also parallel zueinander und schneiden sich deshalb nirgends — auch ihre Rückwärtsverlängerungen nicht. Es gibt keinen Bildpunkt, also weder ein reelles noch ein virtuelles Bild.
Rechnerisch: In b = g·f/(g − f) wird für g = f der Nenner null; der Ausdruck ist nicht definiert. Beides beschreibt dasselbe: g = f ist die Stelle, an der das Verhalten kippt — für g > f entsteht ein reelles Bild hinter der Linse, für g < f ein virtuelles davor.
Wie war es?
Wie gut kamst du bei den Begründungsaufgaben zurecht?