Die Linsengleichung

1 Erklärung

Herleitung über ähnliche Dreiecke

Zwei Strahlen liefern je ein Paar ähnlicher Dreiecke — daraus folgt eine Gleichung, die g, b und f zugleich verbindet.

Mittelpunktstrahl:Er läuft ungebrochen durch die Linsenmitte. Die Dreiecke davor und dahinter sind ähnlich: B / G = b / g.
Parallelstrahl:Hinter der Linse läuft er durch F. Die Dreiecke zwischen Linsenebene und F sowie zwischen F und Bild sind ähnlich: B / G = (b − f) / f.
Gleichsetzen:Beide Ausdrücke stehen für B / G, also gilt b / g = (b − f) / f.
Umformen:Mal g·f: b·f = g·b − g·f, also g·f + b·f = g·b.
Dividieren:Division durch g·b·f liefert die Linsengleichung.

Merke

Die Linsengleichung:

1 / f = 1 / g + 1 / b

g: Gegenstandsweite: Abstand Linsenmitte – Gegenstand (cm oder m).

b: Bildweite: Abstand Linsenmitte – Bild, in derselben Einheit wie g.

f: Brennweite der Linse — fest vorgegeben, unabhängig vom Aufbau.

: Sind zwei der drei Größen bekannt, ist die dritte bestimmt.

2 Erklärung

Umstellen und Vorzeichen

Nach der Bildweite aufgelöst liest man die drei Fälle direkt am Nenner ab.

g > f:Nenner positiv → b positiv: reelles Bild hinter der Linse.
g = f:Nenner null → kein Bild; das Licht verlässt die Linse als Parallelbündel.
g < f:Nenner negativ → b negativ: Bild liegt vor der Linse und ist virtuell.
Vorzeichen:Ein negatives b ist kein Rechenfehler, sondern die Aussage „Bild auf der Gegenstandsseite“.
Nach g:Genauso umstellbar: g = b·f / (b − f).

Merke

Nach der Bildweite umgestellt:

b = g · f / (g − f)

g − f: Der Nenner entscheidet über den Bildtyp: positiv, null oder negativ.

b > 0: Reelles Bild hinter der Linse; je kleiner der Nenner, desto größer b.

b < 0: Virtuelles Bild, auf derselben Seite wie der Gegenstand.

Eine Kerze steht vor einer Sammellinse — Brennweite und Gegenstandsweite sind gegeben. Die Bildweite ergibt sich aus der Linsengleichung; erst „Prüfen“ zeigt, ob der Schirm an der berechneten Stelle ein scharfes Bild auffängt. Liegt hinter der Linse kein reelles Bild vor, lautet die Antwort „Kein reelles Bild“.

Halte fest: Der Schirm zeigt nur dann ein scharfes Bild, wenn er genau bei b = g·f/(g − f) steht — davor oder dahinter treffen die Strahlen (Parallelstrahl blau, Mittelpunktstrahl orange, Brennpunktstrahl grün) noch nicht oder nicht mehr in einem Punkt zusammen. Für g ≤ f gibt es hinter der Linse kein Bild, das ein Schirm auffangen könnte.

3 Hinweise

Hinweise

Drei Stellen, an denen es beim Rechnen mit der Linsengleichung regelmäßig schiefgeht:

Erst Kehrwerte addieren

1/f = 1/g + 1/b darf nicht zu f = g + b vereinfacht werden. Erst die Kehrwerte addieren, dann am Ende den Kehrwert bilden.

Gleiche Einheiten verwenden

Gleiche Einheit für g, b und f — entweder alles in cm oder alles in m. Nur für die Brechkraft D = 1/f muss f in Metern stehen.

Negatives b heißt virtuell

Ein negatives b ist ein Ergebnis, kein Fehler: Es meldet ein virtuelles Bild vor der Linse. Der Betrag ist der Abstand zur Linsenmitte.