Winkelgeschwindigkeit
Wie viel Winkel pro Sekunde? Und warum daraus zusammen mit dem Radius die Bahngeschwindigkeit folgt.
Was ist die Winkelgeschwindigkeit?
Die Winkelgeschwindigkeit misst nicht den Weg je Sekunde, sondern den überstrichenen Winkel je Sekunde.
- Formelzeichen:\(\omega\), gesprochen „omega“.
- Winkel im Bogenmaß:So hängt \(\omega\) nicht von der Größe des Kreises ab.
- Unterschied zu \(v\):Die Bahngeschwindigkeit zählt Weg je Sekunde, die Winkelgeschwindigkeit Winkel je Sekunde.
- Bei gleichförmiger Bewegung:Die Umlaufdauer \(T\) ist konstant, also ist auch \(\omega\) während der ganzen Bewegung konstant.
Die Winkelgeschwindigkeit ist der Winkel, der je Zeit überstrichen wird:
Winkel im Bogenmaß je Zeit
\(\omega\): Winkelgeschwindigkeit, gesprochen „omega“.
\([\omega]\): Einheit \(\mathrm{\frac{1}{s}}\), weil das Bogenmaß selbst keine Einheit hat.
Winkelgeschwindigkeit: \(\omega\) ist der überstrichene Winkel im Bogenmaß je Zeit, Einheit \(\mathrm{\frac{1}{s}}\).
Unterschied zu \(v\): \(v\) zählt Weg je Sekunde, \(\omega\) Winkel je Sekunde und ist vom Kreisradius unabhängig.
Herleitung: Eine volle Umdrehung hat den Winkel \(2\pi\) und dauert \(T\); bei gleichförmiger Bewegung ist \(\omega\) konstant, und es gilt \(\omega = 2\pi f\).
Herleitung: Wir teilen den Winkel einer vollen Umdrehung durch die Zeit, die sie dauert.
- Volle Umdrehung:\(360^\circ\) im Gradmaß entsprechen \(2\pi\) im Bogenmaß.
- Zeit dafür:Eine volle Umdrehung dauert genau die Umlaufdauer \(T\).
- Winkel durch Zeit:Damit gilt \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\).
- Einheit:\([\omega]=\mathrm{\frac{1}{s}}\) — das Bogenmaß ist ein Verhältnis zweier Längen, die Einheiten kürzen sich weg.
Eine volle Umdrehung im Bogenmaß, geteilt durch die Umlaufdauer:
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\)
\(\omega\): Winkelgeschwindigkeit, \([\omega]=\mathrm{\frac{1}{s}}\).
\(T\): Umlaufdauer für eine volle Umdrehung, \([T]=\mathrm{s}\).
\(2\pi\): volle Umdrehung im Bogenmaß; mit \(f=\tfrac{1}{T}\) folgt direkt \(\omega = 2\pi f\).
| Zeiger | Rechnung | \(\omega\) |
|---|---|---|
| Sekundenzeiger | \(\omega = \dfrac{2\pi}{60\,\mathrm{s}}\) | \(0{,}105\,\mathrm{\frac{1}{s}}\) |
| Minutenzeiger | \(\omega = \dfrac{2\pi}{3600\,\mathrm{s}}\) | \(0{,}00175\,\mathrm{\frac{1}{s}}\) |
| Stundenzeiger | \(\omega = \dfrac{2\pi}{43\,200\,\mathrm{s}}\) | \(0{,}000155\,\mathrm{\frac{1}{s}}\) |
Winkel gegen Zeit
Links dreht sich der Radius, rechts wächst der überstrichene Winkel φ mit der Zeit. Weil die Bewegung gleichförmig ist, entsteht eine Gerade — und ihre Steigung ist genau die Winkelgeschwindigkeit ω. Der Radiusregler zeigt dir außerdem: ω bleibt gleich, v nicht. Ändert sich nur der Radius, bleiben ω und die Steigung der Geraden unverändert — allein v wächst mit.
vergangene Zeit t: 0,0 s. Winkel φ: 0,00. ω = 2π/T: 1,571 1/s. f = 1/T: 0,250 Hz. v = ω· r: 2,36 m/s.
Halte fest: Im \(\varphi\)-\(t\)-Diagramm einer gleichförmigen Kreisbewegung entsteht eine Gerade. Ihre Steigung ist die Winkelgeschwindigkeit — und sie ändert sich nicht, wenn man nur den Radius verstellt.
Zusammenhang Bahngeschwindigkeit / Winkelgeschwindigkeit
Beide Formeln enthalten denselben Baustein \(\tfrac{2\pi}{T}\) — daraus folgt der Zusammenhang unmittelbar.
- Bahngeschwindigkeit:\(v = \dfrac{2\pi r}{T}\), also Umfang geteilt durch Umlaufdauer.
- Winkelgeschwindigkeit:\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\), derselbe Ausdruck ohne den Radius.
- Zusammenhang:Einsetzen liefert \(v = \omega\cdot r\).
- Umstellen:Je nach gesuchter Größe \(\omega = \dfrac{v}{r}\) oder \(r = \dfrac{v}{\omega}\) — neue Physik steckt in keiner Umformung.
In beiden Formeln steckt derselbe Baustein \(\tfrac{2\pi}{T}\). Ersetzt man ihn in der linken Gleichung durch \(\omega\), bleibt \(v = \omega\cdot r\) übrig.
Zusammenhang von v und ω
\(v = \omega\cdot r\)
Herkunft: \(v = \dfrac{2\pi r}{T}\) und \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) enthalten denselben Baustein \(\tfrac{2\pi}{T}\).
Umstellen: Es gilt \(\omega = \dfrac{v}{r}\) und \(r = \dfrac{v}{\omega}\).
Hinweise
Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:
\(\omega\) hängt nicht vom Radius ab
In \(\omega = \tfrac{2\pi}{T}\) kommt kein \(r\) vor. Ob der Zeiger 5 cm oder 50 cm lang ist — nur die Bahngeschwindigkeit ändert sich.
Immer im Bogenmaß rechnen
Für eine volle Umdrehung gehört \(2\pi\) in den Zähler, nicht \(360\). Sonst ist das Ergebnis um den Faktor \(\approx 57\) daneben.
Zeiten in Sekunden
Eine Stunde sind 3600 s, eine Minute 60 s. Rechne \(T\) vor dem Einsetzen um, sonst passt die Einheit \(\mathrm{\frac{1}{s}}\) nicht.