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Die Zentripetalkraft

Vom 2. Newtonschen Gesetz über zwei ähnliche Dreiecke zur Formel F_Z = m · v² / r.

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Der Ansatz: das 2. Newtonsche Gesetz

Jede Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung — deshalb greift hier das 2. Newtonsche Gesetz \(F = m\cdot a\).

  • Beschleunigung:Die Geschwindigkeit ändert sich ständig — nicht ihr Betrag, wohl aber ihre Richtung.
  • Tacho täuscht:Auch bei konstanter Schnelligkeit liegt eine Beschleunigung vor, weil sie ein Vektor ist.
  • Richtung:Diese Zentripetalbeschleunigung \(a_Z\) zeigt zum Kreismittelpunkt.
  • Plan:Kennen wir \(a_Z\), liefert \(F = m\cdot a\) sofort die gesuchte Kraft.
Merke

Die Zentripetalkraft folgt aus dem 2. Newtonschen Gesetz:

\(F_Z = m\cdot a_Z\)

\(F_Z\): Zentripetalkraft in Newton (N).

\(m\): Masse des Körpers in Kilogramm (kg).

\(a_Z\): Zentripetalbeschleunigung in m/s² — sie ist jetzt gesucht.

Beschleunigung: Bei jeder Kreisbewegung ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit, also liegt eine Beschleunigung vor, auch bei konstantem Betrag.

Zentripetalbeschleunigung: \(a_Z\) zeigt zum Kreismittelpunkt.

Zwei ähnliche Dreiecke

Wir betrachten den Körper zu zwei Zeitpunkten — dabei entstehen zwei Dreiecke, die sich als ähnlich erweisen.

  • Ortsdreieck:Es besteht aus den beiden Radien r⃗₁, r⃗₂ und der Verbindung Δs⃗.
  • Geschwindigkeitsdreieck:Es besteht aus v⃗₁, v⃗₂ und ihrer Differenz Δv⃗.
  • Gleicher Winkel:Weil v⃗ stets senkrecht auf r⃗ steht, ist der Winkel α in beiden Dreiecken gleich groß.
  • Ähnlichkeit:Beide sind gleichschenklig mit demselben Winkel α (SWS) — also stimmen ihre Seitenverhältnisse überein.
Ortsdreieck und Geschwindigkeitsdreieck
α r⃗₁ r⃗₂ Δs⃗ v⃗₁ v⃗₂ α v⃗₁ v⃗₂ Δv⃗ Geschwindigkeitsdreieck Ortsdreieck

Weil die Geschwindigkeit stets senkrecht auf dem Radius steht, ist der Winkel zwischen v⃗₁ und v⃗₂ genauso groß wie der Winkel zwischen r⃗₁ und r⃗₂.

Merke

Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse:

\(\dfrac{\Delta v}{\Delta s} = \dfrac{v_1}{r_1} = \dfrac{v_2}{r_2} = \dfrac{v}{r}\)

\(\Delta v\): Betrag der Geschwindigkeitsänderung in m/s.

\(\Delta s\): Länge der Verbindungsstrecke in m.

\(v\): Bahngeschwindigkeit in m/s — bei gleichförmiger Kreisbewegung konstant.

\(r\): Radius der Kreisbahn in m — ebenfalls konstant.

Zwei ähnliche Dreiecke: Ortsdreieck und Geschwindigkeitsdreieck sind gleichschenklig mit gleichem Winkel \(\alpha\), da \(\vec v\) senkrecht auf \(\vec r\) steht.

Folgerung: Ihre Seitenverhältnisse stimmen überein.

Merke

Umgestellt liefert das die Geschwindigkeitsänderung:

\(\Delta v = \Delta s\cdot\dfrac{v}{r}\)

Je länger das Stück \(\Delta s\) und je enger der Radius \(r\), desto stärker dreht sich die Geschwindigkeit.

Interaktiv 1

Die beiden Dreiecke vergleichen

Bei jedem Winkel α bleiben beide Dreiecke ähnlich: Dieselbe Form, nur unterschiedlich groß. Deshalb stimmen ihre Seitenverhältnisse überein. Für die Zahlenwerte rechnen wir mit r = 1 und v = 1, damit man die Verhältnisse direkt vergleichen kann. Für jeden Winkel \(\alpha\) bleibt das Verhältnis 1,00. Genau das ist die Aussage \(\tfrac{\Delta v}{\Delta s} = \tfrac{v}{r}\).

Ähnliche Dreiecke

Ortsdreieck (r₁, r₂, Δs) Geschwindigkeitsdreieck (v₁, v₂, Δv)
Radien / Δs bzw. ΔvGeschwindigkeitenWinkel α

Winkel α im Ortsdreieck: 60°. Länge Δ s: 1,00 · r. Länge Δ v: 1,00 · v. Δ v/v : Δ s/r: 1,00.

Halte fest: Die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke gilt für jeden Winkel. Genau darauf stützt sich der ganze Rest der Herleitung.

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Damit erhalten wir die Formel

Jetzt fehlt nur noch ein Schritt: Wir teilen die Geschwindigkeitsänderung durch die Zeit.

  • Ansatz:Beschleunigung ist Geschwindigkeitsänderung pro Zeit: \(a_Z = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\).
  • \(\Delta v\) einsetzen:\(a_Z = \dfrac{\Delta s\cdot\frac{v}{r}}{\Delta t} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\cdot\dfrac{v}{r}\).
  • \(\tfrac{\Delta s}{\Delta t}\) ist \(v\):Strecke durch Zeit ist die Bahngeschwindigkeit, also \(a_Z = v\cdot\dfrac{v}{r}\).
  • Zusammenfassen:\(a_Z = \dfrac{v^2}{r}\); mit \(F = m\cdot a\) folgt die Kraft.
  • Näherung:\(\Delta s\) ist eigentlich die Sehne — für sehr kleine \(\Delta t\) fallen Sehne und Bogen zusammen.
Merke

Die Zentripetalkraft wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit:

\(F_Z = m\cdot a_Z = m\cdot\dfrac{v^2}{r}\)

\(F_Z\): Betrag der Zentripetalkraft in Newton (N).

\(m\): Masse des Körpers in Kilogramm (kg).

\(v\): Bahngeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

\(r\): Radius der Kreisbahn in Meter (m).

Zentripetalbeschleunigung: Aus \(a_Z = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) folgt \(a_Z = \dfrac{v^2}{r}\), unabhängig von der Masse.

Abhängigkeiten: Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Kraft; je enger die Kurve, desto größer die Kraft.

  • Quadratisch:Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Kraft — nicht doppelte.
  • Radius:Je enger die Kurve, desto größer die nötige Kraft, denn \(r\) steht im Nenner.
  • Zwischenergebnis:Die Zentripetalbeschleunigung allein ist \(a_Z = \tfrac{v^2}{r}\), unabhängig von der Masse.
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Allgemeine Hinweise

Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:

Beschleunigt trotz konstantem Tempo

Beschleunigung ist jede Änderung des Geschwindigkeitsvektors. Beim Kreis ändert sich nur die Richtung — das genügt.

\(v\) steht im Quadrat

Doppelte Geschwindigkeit heißt vierfache Kraft. Genau deshalb werden Kurven bei hohem Tempo so schnell kritisch.

Keine zusätzliche Kraft

\(F_Z\) ist kein neuer Kraftpfeil im Bild. Seil, Reibung oder Gravitation sind die Zentripetalkraft.

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