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Winkel im Bogenmaß

360° oder 2π — dieselbe volle Umdrehung, zwei Schreibweisen. Für alles Weitere brauchen wir die zweite.

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Wiederholung: der Einheitskreis

Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 — an ihm lesen wir jeden Winkel als Länge ab.

  • Umfang:Wegen \(r = 1\) gilt \(U = 2\pi r = 2\pi\).
  • Volle Umdrehung:Dieser ganze Umfang \(2\pi\) gehört zum Winkel 360°.
  • Halber Kreis:Zum Winkel 180° gehört entsprechend die halbe Bogenlänge \(\pi\).
  • Bogenmaß:So bekommt jeder Winkel die Länge seines Kreisbogens als Maßzahl — den Radiant (RAD) bzw. das Bogenmaß.
Merke

Eine ganze Umdrehung ist 360° — und zugleich \(2\pi\):

Gradmaß \(360^\circ\)  →  Bogenmaß \(2\pi\)

Das Bogenmaß ist keine „neue Einheit“, sondern eine Länge: die Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis.

Einheitskreis: Das ist ein Kreis mit dem Radius 1, sein Umfang ist \(2\pi\).

Bogenmaß: Der Winkel wird als Länge seines Kreisbogens angegeben (Radiant, RAD); \(180^\circ\) entsprechen \(\pi\).

Interaktiv 1

Das Bogenmaß-Rad

Ein Winkel wird gleichzeitig im Gradmaß und im Bogenmaß angezeigt. Der gelbe Bogen ist genau das, was das Bogenmaß angibt: seine Länge, gemessen in Radien. Mit Rastung springt der Winkel auf die üblichen Werte. Bei \(360^\circ\) ist das Bogenmaß genau \(2\pi\) — der ganze Umfang des Einheitskreises.

Gradmaß ⇄ Bogenmaß

0° r = 1 gelb = Länge des Kreisbogens = Bogenmaß

Gradmaß (DEG): 90°. Bogenmaß (RAD): 1/2π. als Dezimalzahl: 1,571. Bogenlänge: 1,571 · r.

Halte fest: Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des Kreisbogens, den er auf dem Einheitskreis abschneidet. Deshalb gehört zur ganzen Umdrehung genau der Umfang \(2\pi\).

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Umrechnen — Schritt für Schritt

Jeder Winkel ist ein Anteil der vollen Umdrehung — und genau denselben Anteil nimmt man von \(2\pi\).

  • Grad ins Bogenmaß:Winkel durch \(360^\circ\) teilen, das Ergebnis mit \(2\pi\) multiplizieren.
  • Bogenmaß ins Gradmaß:Umgekehrt: durch \(2\pi\) teilen, mit \(360^\circ\) multiplizieren.
  • Kurzform:\(x_{\mathrm{rad}} = x_{\mathrm{grad}}\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}\).
  • Vielfache von \(30^\circ\) und \(45^\circ\) schreibt man als Bruch mit \(\pi\), nicht als Dezimalzahl.
  • Beispiel:\(90^\circ\) ist ein Viertel von \(360^\circ\), also \(\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi = \tfrac{1}{2}\pi \approx 1{,}571\).
Merke

Umrechnen Grad und Bogenmaß

Grad ins Bogenmaß: Winkel durch \(360^\circ\) teilen und mit \(2\pi\) multiplizieren.

Bogenmaß ins Gradmaß: Durch \(2\pi\) teilen und mit \(360^\circ\) multiplizieren.

\(x_{\mathrm{rad}} = x_{\mathrm{grad}}\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}\)

Schreibweise: Vielfache von \(30^\circ\) und \(45^\circ\) schreibt man als Bruch mit \(\pi\).

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Hinweise

Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:

Warum überhaupt Bogenmaß?

Weil sich damit rechnen lässt: Für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist die volle Umdrehung \(2\pi\). Die 360 stammt aus der babylonischen Astronomie und hat mit Kreisgeometrie nichts zu tun.

Zwei Ankerwerte genügen

Merke dir \(180^\circ = \pi\) und \(360^\circ = 2\pi\). Jeden anderen Winkel bekommst du von dort über seinen Anteil an der vollen Umdrehung.

Rechner auf RAD stellen

Steht der Taschenrechner auf DEG, liefert \(\sin(1{,}571)\) Unsinn statt 1. Prüfe den Modus, bevor du mit Bogenmaß rechnest.

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