Bahngeschwindigkeit
Strecke durch Zeit — auf dem Kreis heißt das 2πr durch T. Und plötzlich spielt der Radius eine Rolle.
Was ist die Bahngeschwindigkeit?
Die Bahngeschwindigkeit sagt, wie schnell ein Körper auf seiner Kreisbahn unterwegs ist.
- Weg durch Zeit:Es gilt weiterhin \(v=\tfrac{s}{t}\) — der Weg ist hier nur ein Kreisbogen statt einer Geraden.
- Richtung:Der Geschwindigkeitspfeil liegt tangential an der Bahn, also senkrecht zum Radius.
- Gleiche Umlaufdauer:Auf einem Karussell braucht jeder Platz für eine Runde gleich lang.
- Radius entscheidet:Weiter außen ist der Weg pro Runde länger — also ist dort auch \(v\) größer.
Die Bahngeschwindigkeit ist das Tempo auf der Kreisbahn:
\(v\) = Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn
v: Bahngeschwindigkeit; Einheit Meter pro Sekunde, \([v]=\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Bahn: Die Kreislinie, auf der sich der Körper bewegt — ihr Radius wird von der Drehachse aus gemessen.
Richtung: Der Geschwindigkeitspfeil liegt tangential an der Bahn, also senkrecht zum Radius.
Berechnung: Es gilt \(v=\tfrac{s}{t}\), wobei der Weg ein Kreisbogen ist.
Radius: Bei gleicher Umlaufdauer ist \(v\) weiter außen größer, weil der Weg pro Runde länger ist.
Der äußere Platz legt in derselben Umlaufdauer einen längeren Weg zurück. Genau das misst die Bahngeschwindigkeit.
Die Formel herleiten
Geschwindigkeit ist immer Strecke durch Zeit — für den Kreis brauchen wir also nur Umfang und Umlaufdauer.
- Ansatz:Wir starten bei \(v=\tfrac{s}{t}\) und betrachten genau eine volle Umdrehung.
- Strecke:Eine Runde ist der Kreisumfang, also \(s = 2\pi r\).
- Zeit:Für eine Runde braucht der Körper die Umlaufdauer \(T\).
- Einsetzen:Aus \(v=\tfrac{s}{t}\) wird \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\), mit \(f=\tfrac{1}{T}\) auch \(v=2\pi r\cdot f\).
- Warum eine Runde?Die Bewegung ist gleichförmig — jede Portion liefert dasselbe \(v\), die ganze Runde ist nur die bequemste.
- Folgerung:\(v\) wächst proportional zum Radius und sinkt bei größerer Umlaufdauer.
So berechnest du die Bahngeschwindigkeit:
\(v = \dfrac{2\pi r}{T} = 2\pi r\cdot f\)
v: Bahngeschwindigkeit in Meter pro Sekunde, \([v]=\mathrm{\frac{m}{s}}\).
r: Radius der Kreisbahn in Meter, \([r]=\mathrm{m}\).
T: Umlaufdauer für eine volle Runde in Sekunden, \([T]=\mathrm{s}\).
f: Frequenz, also Runden pro Sekunde, in Hertz, \([f]=\mathrm{Hz}\).
Herleitung: Für eine volle Runde ist die Strecke der Umfang \(2\pi r\) und die Zeit die Umlaufdauer \(T\).
Zusammenhang: \(v\) wächst proportional zum Radius und sinkt bei größerer Umlaufdauer.
Das Karussell
Zwei Plätze, ein Karussell — also für beide dieselbe Umlaufdauer. Der Radius allein entscheidet, wie schnell ein Platz unterwegs ist, sichtbar am Verhältnis der beiden Bahngeschwindigkeiten. Die roten Pfeile zeigen die Bahngeschwindigkeit; ihre Länge ist maßstäblich zum Betrag. Bei \(r_2 = 2r_1\) wird das Verhältnis der Geschwindigkeiten exakt 2,00 — unabhängig von der Umlaufdauer.
Frequenz f = 1/T: 0,200 Hz. v1 = 2π r1/T: 1,26 m/s. v2 = 2π r2/T: 3,27 m/s. v2 ist so oft v1: 2,60 ×.
Halte fest: Auf demselben Karussell haben alle Plätze dieselbe Umlaufdauer, aber nicht dieselbe Bahngeschwindigkeit. Der Radius allein entscheidet, wie schnell ein Platz unterwegs ist.
Hinweise
Drei Stellen, an denen es hier oft klemmt:
Erst umrechnen, dann einsetzen
Der Radius gehört in Metern, die Umlaufdauer in Sekunden in die Formel. Aus \(5\,\mathrm{cm}\) werden \(0{,}05\,\mathrm{m}\), aus \(60\,\mathrm{min}\) werden \(3600\,\mathrm{s}\).
Radius, nicht Durchmesser
In \(2\pi r\) steht der Radius. Ist in der Aufgabe der Durchmesser angegeben, musst du ihn zuerst halbieren.
T und f nicht vertauschen
\(T\) ist die Dauer einer Runde in Sekunden, \(f\) die Zahl der Runden pro Sekunde in Hertz. Geteilt wird durch \(T\), multipliziert wird mit \(f\).