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Senkrechter Wurf nach unten

Ein Stein wird nach unten geworfen: ein freier Fall, der schon mit einer Anfangsgeschwindigkeit beginnt.

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Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit

Wird ein Körper nach unten geworfen, startet er nicht aus der Ruhe, sondern schon mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0.

  • Richtung:Wurf und Fallbeschleunigung zeigen beide nach unten. Wir zählen deshalb die Richtung nach unten positiv.
  • Zwei Anteile:Der Körper bewegt sich gleichförmig mit v0 weiter und fällt zusätzlich wie beim freien Fall.
  • Geschwindigkeit:Sie beginnt bei v0 und wächst jede Sekunde um 9,81 m/s.
  • Strecke:Zur Strecke v0 · t der gleichförmigen Bewegung kommt die Fallstrecke ½ · g · t² hinzu.
  • Modell:Wie beim freien Fall rechnen wir ohne Luftwiderstand.
Merke

Senkrechter Wurf nach unten: \(v=v_0+g\cdot t\) und \(s=v_0\cdot t+\tfrac12\cdot g\cdot t^2\) (nach unten positiv, ohne Luftwiderstand).

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Die Aufprallgeschwindigkeit

Oft ist nur die Höhe h bekannt, aber nicht die Fallzeit. Dann hilft eine Formel ohne t.

Herleitung:

\(t=\dfrac{v-v_0}{g}\)
| − v₀, : g
Aus v = v0 + g · t folgt die Zeit, nach der der Körper die Geschwindigkeit v hat.
\(h=v_0\cdot\dfrac{v-v_0}{g}+\tfrac12\, g\left(\dfrac{v-v_0}{g}\right)^2\)
| einsetzen
Diese Zeit wird in das Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt, die Strecke ist die Höhe h.
\(2gh=2v_0v-2v_0^2+v^2-2v_0v+v_0^2\)
| · 2g
Mit 2g multiplizieren und die Klammern ausmultiplizieren.
\(v^2=v_0^2+2gh\)
| √
Die gemischten Glieder heben sich auf, danach wird die Wurzel gezogen.
\(v=\sqrt{v_0^2+2gh}\)
Ergebnis
Mit v0 = 0 ergibt sich die Aufprallgeschwindigkeit beim freien Fall aus der Höhe h.
  • Nicht addieren:Die Aufprallgeschwindigkeit ist kleiner als v0 plus die Aufprallgeschwindigkeit eines frei fallenden Körpers aus derselben Höhe.
  • Grund:Der geworfene Körper ist schneller unten und hat weniger Zeit, um zusätzlich Geschwindigkeit zu gewinnen.

Stelle Höhe und Abwurfgeschwindigkeit ein, tippe deine Vorhersage an und starte dann mit ▶ beide Steine gleichzeitig.

Werfen oder fallen lassen?

Halte fest: Der geworfene Stein kommt schneller an, aber mit weniger als v0 + vfrei – Geschwindigkeiten aus Wurf und Fall dürfen nicht einfach addiert werden.

Merke

Aufprallgeschwindigkeit: \(v=\sqrt{v_0^2+2\,g\,h}\) beim Wurf nach unten aus der Höhe h.

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Allgemeine Hinweise

Richtung zuerst festlegen

Lege vor dem Rechnen fest, welche Richtung positiv ist. Beim Wurf nach unten zählst du am bequemsten nach unten positiv, dann sind v0, g und s alle positiv.

Keine Geschwindigkeiten addieren

Die Summe aus v0 und √(2gh) ist zu groß. Richtig ist v = √(v0² + 2gh), weil die Fallzeit kürzer wird.

Fallzeit geschickt bestimmen

Das Weg-Zeit-Gesetz ist eine quadratische Gleichung in t. Einfacher ist es, erst v = √(v0² + 2gh) und danach t = (v − v0) / g zu berechnen.

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