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Senkrechter Wurf nach oben

Ein Ball steigt senkrecht auf, wird langsamer, kehrt um und fällt zurück – mit Steigzeit und Steighöhe.

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Steigen, umkehren, fallen

Ein senkrecht nach oben geworfener Ball wird immer langsamer, bleibt im höchsten Punkt kurz stehen und fällt dann zurück.

  • Richtung:Jetzt zählen wir nach oben positiv: v0 ist positiv, die Fallbeschleunigung geht mit −g in die Rechnung ein.
  • Steigphase:Die Geschwindigkeit nimmt jede Sekunde um 9,81 m/s ab.
  • Umkehrpunkt:Im höchsten Punkt ist v = 0. Die Fallbeschleunigung wirkt aber weiter nach unten.
  • Fallphase:Danach wird v negativ: Der Ball bewegt sich nach unten und wird dabei schneller.
  • Symmetrie:Ohne Luftwiderstand dauert das Fallen genauso lange wie das Steigen, und der Ball kommt mit derselben Geschwindigkeit an, mit der er abgeworfen wurde.
Merke

Senkrechter Wurf nach oben: \(v=v_0-g\cdot t\) und \(h=v_0\cdot t-\tfrac12\cdot g\cdot t^2\) (nach oben positiv, ohne Luftwiderstand).

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Steigzeit und Steighöhe

Der Umkehrpunkt ist daran zu erkennen, dass dort v = 0 gilt. Daraus folgen die Steigzeit tS und die Steighöhe hmax.

Herleitung:

\(0=v_0-g\cdot t_S\)
| + g·t_S
Im Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit null.
\(g\cdot t_S=v_0\)
| : g
Die Steigzeit steht jetzt allein auf einer Seite.
\(h_{max}=v_0\cdot\dfrac{v_0}{g}-\tfrac12\,g\left(\dfrac{v_0}{g}\right)^2\)
| einsetzen
Die Steigzeit tS = v0/g wird in das Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt.
\(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{g}-\dfrac{v_0^2}{2g}\)
| zusammenfassen
Ausmultiplizieren und kürzen.
\(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}\)
Ergebnis
Doppelte Abwurfgeschwindigkeit bedeutet vierfache Steighöhe.

Wähle eine Abwurfgeschwindigkeit und starte den Wurf mit ▶. Achte darauf, wo der t-v-Graph die Zeitachse schneidet.

Ball senkrecht nach oben

Halte fest: Der t-v-Graph ist eine fallende Gerade mit der Steigung −g. Er schneidet die Zeitachse bei der Steigzeit, und der Ball landet nach der doppelten Steigzeit.

Merke

Steigzeit: \(t_S=\dfrac{v_0}{g}\), Flugzeit bis zur Rückkehr \(2\,t_S\).

Steighöhe: \(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2\,g}\)

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Allgemeine Hinweise

v = 0 heißt nicht a = 0

Im Umkehrpunkt steht der Ball nur für einen Augenblick still. Die Fallbeschleunigung wirkt die ganze Zeit, sonst würde er oben stehen bleiben.

Symmetrie nutzen

Steigen und Fallen dauern ohne Luftwiderstand gleich lange. Die Fallphase ist ein freier Fall aus der Steighöhe hmax.

Negative Geschwindigkeit

Nach dem Umkehrpunkt wird v negativ. Ein negatives Ergebnis ist also kein Rechenfehler, sondern zeigt die Bewegung nach unten.

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