Momentangeschwindigkeit
Durchschnitt oder Augenblick: Wie schnell ein Körper in einem bestimmten Moment ist, zeigt die Tangente im t-s-Diagramm.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit
Bei einer ungleichförmigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit ständig. Die Rechnung Strecke durch Zeit liefert dann nur einen Mittelwert.
- Zeitspanne:Δt = t2 − t1 ist die Dauer zwischen zwei Zeitpunkten.
- Ortsänderung:Δs = s2 − s1 ist die Strecke, die der Körper in dieser Zeit zurücklegt.
- Durchschnittsgeschwindigkeit:v̄ = Δs / Δt – so schnell wäre ein gleichförmig bewegter Körper, der in derselben Zeit dieselbe Strecke schafft.
- Sekante:Die Gerade durch die beiden Punkte (t1|s1) und (t2|s2) des t-s-Graphen heißt Sekante.
- Im Diagramm:Die Steigung der Sekante ist genau die Durchschnittsgeschwindigkeit.
Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\bar v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s_2-s_1}{t_2-t_1}\) – das ist die Steigung der Sekante im t-s-Diagramm.
Die Momentangeschwindigkeit
Der Tacho zeigt nicht den Durchschnitt, sondern die Geschwindigkeit in genau einem Augenblick.
- Idee:Man macht die Zeitspanne Δt um den Zeitpunkt t immer kleiner.
- Tangente:Die Sekante dreht sich dabei in die Tangente – die Gerade, die den Graphen in diesem Punkt nur berührt.
- Momentangeschwindigkeit:Die Steigung der Tangente im t-s-Diagramm ist die Geschwindigkeit v(t) im Zeitpunkt t.
- Ablesen:Tangente anlegen, ein großes Steigungsdreieck einzeichnen, Δs durch Δt teilen.
- Gleichförmig:Bei einer Geraden fallen Sekante und Tangente zusammen, Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit sind gleich.
Ziehe den Punkt Q immer näher an P heran und beobachte, wie sich die Sekante dreht. Blende danach die Tangente in P ein.
Halte fest: Je kleiner Δt wird, desto näher kommt die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente – der Momentangeschwindigkeit in P.
In der Mathematik heißt die Steigung der Tangente Ableitung. Die Momentangeschwindigkeit ist also die Ableitung der Ortsfunktion s(t).
Momentangeschwindigkeit: \(v(t)=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\) für sehr kleines \(\Delta t\), also die Steigung der Tangente im t-s-Diagramm: \(v(t)=s^{\prime}(t)\).
Allgemeine Hinweise
Durchschnitt ist kein Tachowert
Die Durchschnittsgeschwindigkeit verrät nicht, wie schnell der Körper in einem einzelnen Moment war. Ein Auto mit 50 km/h im Durchschnitt kann zwischendurch gestanden haben und 80 km/h gefahren sein.
Tangente sorgfältig anlegen
Lege das Lineal so an, dass es den Graphen im Punkt nur berührt und auf beiden Seiten gleich viel Luft lässt. Ein großes Steigungsdreieck verkleinert den Ablesefehler.
Einheit aus den Achsen
Die Steigung hat die Einheit der s-Achse geteilt durch die Einheit der t-Achse. Stehen dort Meter und Sekunden, kommt m/s heraus.