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Messwerte auswerten

Aus den Messpunkten der Videoanalyse werden mit Ausgleichsgerade und Parabel Geschwindigkeit und Beschleunigung.

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Ausgleichskurven und Regression

Messpunkte liegen nie genau auf einer Linie. Eine Ausgleichskurve gibt den Zusammenhang wieder, der hinter den Messwerten steckt.

  • Ausgleichsgerade:Sie verläuft so, dass die Messpunkte möglichst gleichmäßig ober- und unterhalb von ihr liegen.
  • Regression:So heißt das Rechenverfahren, mit dem Software oder Taschenrechner die am besten passende Kurve bestimmen: Die Summe der quadrierten Abstände der Punkte von der Kurve wird möglichst klein.
  • Lineare Regression:Für eine gleichförmige Bewegung passt s = m · t + b. Die Steigung m ist die Geschwindigkeit v, der Achsenabschnitt b der Startort s0.
  • Quadratische Regression:Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe passt s = k · t². Der Faktor k ist die halbe Beschleunigung.
  • Güte:Das Bestimmtheitsmaß R² liegt nahe bei 1, wenn die Kurve gut zu den Punkten passt.

Herleitung:

\(s=k\cdot t^2\)
| Vergleich
Die quadratische Regression liefert den Faktor k vor t².
\(\tfrac12\cdot a\cdot t^2=k\cdot t^2\)
| : t²
Das Weg-Zeit-Gesetz s = ½ · a · t² hat genau dieselbe Form.
\(\tfrac12\cdot a=k\)
| · 2
Die Faktoren vor t² müssen übereinstimmen.
\(a=2\cdot k\)
Ergebnis
Die Beschleunigung ist doppelt so groß wie der Faktor aus der Regression.
Merke

Gleichförmig: Regression \(s=m\cdot t+b\): \(v=m\), \(s_0=b\).

Gleichmäßig beschleunigt: Regression \(s=k\cdot t^2\): \(a=2\,k\).

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Linearisieren: aus der Parabel wird eine Gerade

Ob Punkte wirklich auf einer Parabel liegen, ist mit bloßem Auge schwer zu sehen. Eine Gerade erkennt man dagegen sofort.

  • Idee:Statt t wird t² auf die waagerechte Achse geschrieben. Dieses Umformen heißt Linearisieren.
  • Test:Liegen die Punkte im t²-s-Diagramm auf einer Ursprungsgeraden, gilt s ~ t², die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt.
  • Steigung:Die Steigung dieser Geraden ist k = ½ · a, die Beschleunigung also a = 2 · Steigung.
  • Abweichung:Biegen die Punkte von der Geraden ab, passt das Modell nicht, zum Beispiel weil Reibung oder Luftwiderstand mitspielen.

Schalte die waagerechte Achse zwischen t und t² um und beobachte, wie aus der Ausgleichsparabel eine Ursprungsgerade wird.

Parabel oder Gerade?

Halte fest: Liegen die Punkte im t²-s-Diagramm auf einer Ursprungsgeraden, ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt, und es gilt a = 2 · Steigung.

Merke

Linearisieren: s über t² auftragen: Ursprungsgerade mit der Steigung \(\tfrac12\,a\), also \(a=2\cdot\text{Steigung}\).

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Allgemeine Hinweise

Nicht Punkt für Punkt verbinden

Messpunkte werden nie mit einem Zickzack-Linienzug verbunden. Gezeichnet wird eine glatte Ausgleichskurve, die den Verlauf wiedergibt.

Modell nach der Physik wählen

Entscheide über die Art der Regression mit deinem Wissen über die Bewegung, nicht nach dem größten R². Eine Kurve höheren Grades passt fast immer besser, erklärt aber nichts.

Ausreißer prüfen

Ein Punkt weit neben der Kurve deutet oft auf einen Klickfehler hin. Prüfe ihn im Video, bevor du ihn weglässt.

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