Diagramme umwandeln

Aus dem t-s-Diagramm wird das t-v-Diagramm und umgekehrt – über die Steigung und die Fläche unter dem Graphen.

Nach unten über die Steigung

Die Diagramme einer Bewegung hängen zusammen: Das nächste Diagramm steckt schon in der Steigung des vorherigen.

t-s → t-v:Die Steigung des t-s-Graphen ist zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit v.
t-v → t-a:Die Steigung des t-v-Graphen ist zu jedem Zeitpunkt die Beschleunigung a.
Gerade:Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung – im nächsten Diagramm wird daraus eine waagerechte Linie.
Parabel:Eine Parabel im t-s-Diagramm wird gleichmäßig steiler – im t-v-Diagramm wird daraus eine schräge Gerade.
Waagerechte Stelle:Verläuft der t-s-Graph an einer Stelle waagerecht, ist dort v = 0: Der Körper steht oder kehrt um.

Merke

Steigung: Steigung im t-s-Diagramm = Geschwindigkeit v, Steigung im t-v-Diagramm = Beschleunigung a.

Nach oben über die Fläche

Rückwärts geht es über die Fläche zwischen dem Graphen und der Zeitachse.

t-v → t-s:Die Fläche unter dem t-v-Graphen ist die zurückgelegte Strecke Δs.
t-a → t-v:Die Fläche unter dem t-a-Graphen ist die Geschwindigkeitsänderung Δv.
Rechteck:Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Fläche ein Rechteck: Δs = v · Δt.
Unter der Achse:Flächen unterhalb der Zeitachse zählen negativ – der Körper bewegt sich zurück.
Startwert:Die Fläche liefert nur die Änderung. Der Startort s₀ bzw. die Startgeschwindigkeit v₀ kommt noch dazu.

Herleitung:

\(\Delta s=\tfrac12\cdot t\cdot v\)

| Dreiecksfläche

Beim Anfahren aus dem Stand ist die Fläche unter dem t-v-Graphen ein Dreieck mit der Grundseite t und der Höhe v.

\(\Delta s=\tfrac12\cdot t\cdot(a\cdot t)\)

| einsetzen

Die Höhe des Dreiecks ist die Endgeschwindigkeit v = a · t.

\(s=\tfrac12\cdot a\cdot t^2\)

Ergebnis

Die Flächenregel liefert genau das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Baue eine Bewegung aus drei Abschnitten zu je 4 s: Wähle für jeden Abschnitt die Beschleunigung und vergleiche die drei Diagramme untereinander.

Halte fest: Jede Stufe im t-a-Diagramm wird im t-v-Diagramm zur Geraden und im t-s-Diagramm zur Parabel – nach oben über die Fläche, nach unten über die Steigung.

Merke

Fläche: Fläche unter dem t-v-Graphen = Strecke Δs, Fläche unter dem t-a-Graphen = Geschwindigkeitsänderung Δv. Zum Schluss den Startwert addieren.

Allgemeine Hinweise

Steigung ist nicht Höhe

Ein hoher Punkt im t-s-Diagramm heißt nur, dass der Körper weit vom Startpunkt entfernt ist. Über die Geschwindigkeit entscheidet allein, wie steil der Graph dort verläuft.

Knickstellen übertragen

Wo sich die Beschleunigung sprunghaft ändert, hat der t-v-Graph einen Knick. Im t-s-Diagramm gehen die Parabelstücke dort ohne Knick ineinander über.

Kästchen zählen

Ist die Fläche keine einfache Figur, zählst du Kästchen und multiplizierst mit dem Wert eines Kästchens. Ein Kästchen von 1 s mal 1 m/s steht für 1 m.