Woher das Halb kommt und warum ausgerechnet v quadriert wird — in fünf Zeilen erklärt.
Ekin = ½ · m · v² hast du im letzten Unterkapitel benutzt, ohne zu wissen, woher sie kommt. Zwei Dinge daran sind erklärungsbedürftig: Warum steht dort ein Halb? Und warum wird ausgerechnet v quadriert, m aber nicht?
Ein einziger Gedanke beantwortet beide Fragen.
Herleitung Einstieg
Frage: Warum steht in der Formel für kinetische Energie ein Halb, und warum wird nur \(v\) quadriert?
Kernidee: Bewegungsenergie ist die Energie \(W\), die eine Kraft einem ruhenden Körper zuführt, bis er die Geschwindigkeit \(v\) hat.
Gebraucht werden nur drei bekannte Gleichungen.
Kinetische Energie:
Ekin = ½ · m · v²
Idee: Die kinetische Energie ist gleich der Energie \(W\), die ein ruhender Körper durch eine Kraft bis zur Geschwindigkeit \(v\) erhält.
Bausteine: Verwendet werden \(W = F\cdot s\), \(F = m\cdot a\) und \(v^2 = 2\cdot a\cdot s\) (aus der Ruhe).
Deutung: Das Halb kommt daher, dass der Körper im Mittel nur halb so schnell ist und nur den halben Weg zurücklegt. \(v\) steckt in Kraft und Weg, deshalb \(v^2\). Die Masse steckt nur in der Kraft.
Es geht auch ohne v² = 2 · a · s.
Damit sind beide Fragen vom Anfang beantwortet.
Ein Körper wird aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt. Das grüne Dreieck unter der Geraden im t-v-Diagramm ist der Weg s — das umgeklappte orange Dreieck zeigt, wie viel vom Rechteck v · t das grüne Dreieck einnimmt. Oben rechts steht die zugeführte Energie W.
Halte fest: Das umgeklappte obere Dreieck deckt das untere genau — der Weg ist also nur das halbe Rechteck, s = ½ · v · t. Mit F = m · v : t wird daraus W = F · s = ½ · m · v²; die Zeit t kürzt sich heraus. Die beiden Beispiele haben denselben Weg, aber verschiedene Energie: v steckt in der Kraft und im Weg.
In jeder Zeile führt einer von zwei Schritten zum nächsten Term. Zwei verschiedene Wege führen zum selben Ergebnis.
Beide Wege benutzen dieselbe Ausgangsgleichung W = F · s. Der Unterschied liegt nur darin, ob man zuerst die Kraft oder zuerst den Weg ersetzt. Das Halb entsteht in beiden Fällen aus derselben Quelle: Der Körper ist während der Beschleunigung im Mittel nur halb so schnell wie am Ende.
Drei Stolperstellen
Sonst gilt v² = 2 · a · s nicht. Mit Startgeschwindigkeit liefert die Rechnung die Änderung der Bewegungsenergie.
Die Herleitung setzt eine konstante Kraft voraus. Wie lange das Beschleunigen dauert, ändert die Energie nicht.
Aus v² = 2 · a · s folgt a · s = ½ v², nicht ½ v. Wurzel nicht vergessen.