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Vektoren im Koordinatensystem

Aus dem Pfeil wird ein Zahlenpaar. Wie man Vektoren zeichnet, abliest und addiert — komponentenweise statt mit Lineal und Zirkel.

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Einstieg — Aus dem Pfeil wird ein Zahlenpaar

Legt man ein Koordinatensystem über die Zeichnung, wird aus jedem Kraftpfeil ein Paar von Zahlen.

Frage 1 · Wie schreibt man einen Pfeil als Zahlen auf?Ein Pfeil hat einen Anfang, eine Richtung und eine Länge. Trotzdem sollen zwei Zahlen genügen, um ihn eindeutig festzulegen. Welche beiden Zahlen sind das — und wo im Koordinatensystem muss der Pfeil dann liegen?
Frage 2 · Geht das Parallelogramm auch ohne Zeichnung?Die resultierende Kraft haben wir bisher konstruiert und dann mit dem Lineal abgemessen. Lässt sie sich stattdessen ausrechnen, sobald man die Zahlenpaare kennt?

Das Bild dazu ist eine Schatzkarte:

  • Nicht so:„Geh 7,3 Schritte in Richtung Nordnordost“ — das braucht Winkelmessung.
  • Sondern so:„3 Schritte nach Osten, 7 Schritte nach Norden“ — zwei Zahlen, kein Zirkel.
  • Ergebnis:Trotzdem kommt jeder am selben Punkt an.
  • In der Physik:Genau nach diesem Muster wird ein Vektor im Koordinatensystem beschrieben.
Merke

Vektoren Einstieg

Zahlenpaar: Im Koordinatensystem wird ein Pfeil durch zwei Zahlen beschrieben: Schritte waagerecht und Schritte senkrecht.

Vorteil: Mit den Zahlenpaaren lässt sich die resultierende Kraft ausrechnen, ohne zu zeichnen.

Erklärung — Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren im Koordinatensystem sind Pfeile, die durch ein Zahlenpaar \(x\) und \(y\) dargestellt werden.

  • Erste Zahl \(x\):Wie viele Schritte man waagerecht geht.
  • Zweite Zahl \(y\):Wie viele Schritte man senkrecht geht.
Merke

Wie zeichnet man einen Vektor in ein Koordinatensystem?:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)

Schritt 1: Einen beliebigen Anfangspunkt wählen.

Schritt 2: \(x\) Schritte nach links oder rechts, dann \(y\) Schritte nach oben oder unten.

Schritt 3: Anfangspunkt und Endpunkt verbinden. Der Pfeil zeigt zum Endpunkt.

Vektor: Ein Vektor ist durch seine Koordinaten festgelegt. Sein Anfangspunkt ist beliebig, alle gleich langen und gleich gerichteten Pfeile sind derselbe Vektor.

Addieren: Vektoren addiert man komponentenweise: x zu x und y zu y. Zeichnerisch setzt man die Spitze des einen an den Fuß des anderen.

−112345−112345xy A E x = 3 y = 2 v
Merke

Schreibweise:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)

\(\vec{v}\): Gelesen: „der Vektor \(\vec{v}\) mit den Koordinaten \(x\) und \(y\)“.

Spalte: Beide Zahlen stehen untereinander in einer Klammer: die Spaltenschreibweise.

Merke

Beispiel zur Zeichnung:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\(A\): Anfangspunkt: von hier aus 3 nach rechts, dann 2 nach oben.

\(E\): Endpunkt. Der Pfeil von \(A\) nach \(E\) ist \(\vec{v}\).

Derselbe Vektor an vielen Stellen

Schritt 1 sagt ausdrücklich: Der Anfangspunkt ist beliebig.

  • Keine Schlamperei:Das ist die wichtigste Eigenschaft eines Vektors.
  • Verschiebung:Ein Vektor beschreibt nur, wie viele Schritte waagerecht und senkrecht.
  • Ort egal:Wo im Koordinatensystem gezeichnet wird, spielt keine Rolle.
Ort oder Verschiebung? Ein Punkt hat einen festen Platz, ein Vektor nicht: Alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile sind derselbe Vektor. Erst ein anderes \(x\) oder \(y\) macht einen anderen Vektor.

Zwei Vektoren zusammenfassen

Sind zwei Vektoren als Zahlenpaare gegeben, braucht die Summe kein Parallelogramm mehr:

  • \(x\) zu \(x\):Die beiden x-Koordinaten werden addiert.
  • \(y\) zu \(y\):Die beiden y-Koordinaten werden addiert.
  • Name:Das heißt komponentenweise addieren.
−11234−112345678xy F₁ F₂ FRes (3 | 7)
Merke

Komponentenweise addieren:

\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix} \)

Oben zu oben, unten zu unten. Die \(x\)-Zeile und die \(y\)-Zeile werden nie miteinander vermischt.

Merke

Beispiel 1 · zwei Kräfte:

\( \vec{F}_{Res} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \)

Dieselbe Aufgabe brauchte im letzten Kapitel noch ein Parallelogramm. Hier ist sie in einer Zeile erledigt.

Derselbe Rechenweg in allen Zwischenschritten, für \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\):

\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)Vektoren einsetzen
\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} \)komponentenweise addieren
\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \)Ergebnis

Gezeichnet sieht dieselbe Aufgabe so aus:

  • Spitze an Fuß:\(\vec{b}\) wird mit seinem Anfangspunkt an die Spitze von \(\vec{a}\) gesetzt.
  • Erlaubt, weil:Der Anfangspunkt eines Vektors frei wählbar ist.
  • Die Summe:Der Pfeil vom Anfang von \(\vec{a}\) bis zur Spitze von \(\vec{b}\).
  • Nachgezählt:Erst 1 rechts und 2 hoch, dann 3 rechts und 1 hoch — zusammen 4 rechts und 3 hoch.
  • Fazit:Die Zeichnung tut nichts anderes als die Rechnung.
Der Anschluss: Parallelogramm, „Spitze an Fuß“ und komponentenweises Addieren liefern immer dasselbe Ergebnis. Neu ist nur: Mit bekannten Koordinaten kann man rechnen statt zeichnen und messen.
Drei Wege zur resultierenden Kraft — ein Ergebnis (Beispiel: \(\vec{F}_1 = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{F}_2 = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\))
WegSo geht esErgebnisMan braucht
ParallelogrammBeide Pfeile vom selben Anfangspunkt, zwei Parallelen, Diagonale\(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\)Lineal und Geodreieck
Spitze an Fuß\(\vec{F}_2\) an die Spitze von \(\vec{F}_1\) setzen, Anfang mit Ende verbinden\(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\)Lineal
komponentenweise\(x\) zu \(x\), \(y\) zu \(y\) addieren\(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\)nur Kopfrechnen
✓ Frage 1 gelöstEin Vektor wird durch das Zahlenpaar \(x\) und \(y\) festgelegt und als Spalte geschrieben: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\). Wo der Pfeil gezeichnet wird, ist egal — der Anfangspunkt ist frei wählbar, es zählt nur die Verschiebung.
✓ Frage 2 gelöstJa: \(\vec{F}_{Res} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\) wird komponentenweise berechnet. Aus \(\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\) wird \(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\) — ohne Zeichnung, ohne Messfehler.
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Interaktiv — Die Vektor-Werkstatt

Beide Ansichten zeigen dieselbe Summe der vier Koordinaten. Der Schalter „Anfangspunkt verschieben“ führt vor, dass ein Vektor seinen Platz wechseln darf, ohne ein anderer zu werden.

Vektoren addieren

verschobene Kopie a b s

Pfeiltasten verändern den ersten Vektor, Enter wechselt die Ansicht.

Halte fest: Bei festen Zahlen bleibt der rote Pfeil in beiden Ansichten derselbe, denn die gestrichelte Parallele zu \(\vec{b}\) ist \(\vec{b}\) selbst an anderer Stelle. Reicht die Summe über die Marke 6 hinaus, vergrößert sich das Koordinatensystem automatisch.

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Allgemeine Hinweise

Drei häufige Stolperstellen

Beliebiger Anfangspunkt

Ein Vektor muss nicht im Ursprung anfangen: Schritt 1 lautet beliebigen Anfangspunkt wählen, der Ursprung ist nur bequem. Jede Stelle ist richtig, solange die Verschiebung stimmt.

Vorzeichen gibt die Richtung

Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung: Positives \(x\) heißt rechts, negatives links; positives \(y\) oben, negatives unten. Bei \(\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\) geht man 3 nach links und 5 nach oben.

Komponentenweise addieren

Beim Addieren wird nicht über Kreuz gerechnet: Komponentenweise heißt obere Zahl plus obere, untere plus untere. Die \(x\)-Zeile und die \(y\)-Zeile bleiben streng getrennt.

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