Die Beschleunigung steht meist nicht in der Aufgabe. Wie man sie über die Bewegungsformeln herausholt — und dann die Kraft ausrechnet.
Mit \( F = m \cdot a \) lässt sich jede Kraft ausrechnen — nur steht in den Aufgaben meistens gar keine Beschleunigung.
Das Bild dazu: Eine U-Bahn steht im Tunnel und fährt an.
Kraft berechnen Einstieg
Problem: Mit \(F = m\cdot a\) lässt sich jede Kraft berechnen, aber in Aufgaben steht meist keine Beschleunigung.
Lösung: Die Beschleunigung muss man sich erst aus der Bewegung besorgen.
Die Grundgleichung \( F = m \cdot a \) verbindet drei Größen: Masse und Kraft stehen fast immer direkt in der Aufgabe, die Beschleunigung kommt aus der Kinematik.
Drei Kernaussagen:
\( F = m \cdot a \)
Kraft: Sie ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung.
Bedingung: Mit einem festen Wert \(a\) darf man nur bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung rechnen.
Herkunft von \(a\): Aus der Kinematik — aus \( v = a \cdot t \) oder aus \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \).
Bedingung: Mit einem festen \(a\) darf man nur bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung rechnen. Bei konstanter Fahrt gilt \(a = 0\), also auch \(F = 0\).
Beschleunigung: Aus \(v = a\cdot t\) folgt \(a = \dfrac{v}{t}\), aus \(s = \tfrac{1}{2}\,a\,t^2\) folgt \(a = \dfrac{2s}{t^2}\).
Dreischritt: Gegeben und gesucht notieren (Einheiten in kg, m, s), Beschleunigung berechnen, dann \(F = m\cdot a\) rechnen.
Grundgleichung der Mechanik:
\( F = m \cdot a \)
F: Kraft in Newton (N).
m: Masse in Kilogramm (kg).
a: Beschleunigung in m/s².
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
\( v = a \cdot t \) · \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \)
Beide Formeln kommen aus der Kinematik und sind oft nötig, um zuerst die Beschleunigung zu berechnen.
Nicht jede Bewegung hat eine Beschleunigung, mit der man rechnen darf.
Beide Bewegungsformeln lassen sich nach \(a\) umstellen — welche man braucht, hängt davon ab, ob in der Aufgabe eine Geschwindigkeit oder eine Strecke steht.
| Gesucht | In der Aufgabe steht | Formel | Nach \(a\) umgestellt |
|---|---|---|---|
| Kraft \(F\) | \(m\) und \(a\) | \( F = m \cdot a \) | — |
| Beschleunigung \(a\) | \(v\) und \(t\) | \( v = a \cdot t \) | \( a = \dfrac{v}{t} \) |
| Beschleunigung \(a\) | \(s\) und \(t\) | \( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \) | \( a = \dfrac{2s}{t^2} \) |
| Beschleunigung \(a\) | \(F\) und \(m\) | \( F = m \cdot a \) | \( a = \dfrac{F}{m} \) |
Stelle Masse, Kraft und Zeit ein. Die Werkbank rechnet den kompletten Weg mit — erst \( a = \frac{F}{m} \), daraus \( v = a \cdot t \), daraus \( s = \frac{1}{2} a t^2 \). Der Wagen fährt genau die Strecke, die dabei herauskommt.
Halte fest: Beide Maßstäbe passen sich an: Die Skala unter der Strecke sagt, wie viele Meter die volle Breite bedeutet, und der grüne Geschwindigkeitspfeil trägt seinen Wert als Zahl. Bei \( m = 200\,\mathrm{t} \), \( F = 250\,\mathrm{kN} \) und \( t = 8\,\mathrm{s} \) liefert die Werkbank \( a = 1{,}25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \).
Drei häufige Stolperstellen:
Ohne angegebene Beschleunigung geht es trotzdem. Sie steckt in Zeit und Geschwindigkeit (\( a = \frac{v}{t} \)) oder in Zeit und Strecke (\( a = \frac{2s}{t^2} \)) — erst wenn \(a\) berechnet ist, folgt \( F = m \cdot a \).
\( v = a \cdot t \) und \( s = \frac{1}{2}at^2 \) gelten nicht immer, sondern nur bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung aus dem Stand. Bei konstanter Geschwindigkeit ist \(a = 0\), und \( s = \frac{1}{2}at^2 \) liefert den falschen Wert null.
Erst umrechnen, dann einsetzen: In \( F = m \cdot a \) gehören kg, m und s hinein, also \( 36\,\mathrm{km/h} = 10\,\mathrm{m/s} \) und \( 200\,\mathrm{t} = 200\,000\,\mathrm{kg} \). Wer die Tonnen stehen lässt, rechnet um den Faktor 1000 daneben.