Gleiche Richtung: addieren. Entgegengesetzt: subtrahieren. Beliebige Richtung: Kräfteparallelogramm — und am Ende eine Formel mit Cosinus.
Bisher wirkte immer nur eine Kraft — in der Wirklichkeit ziehen fast nie alle an einem Strang.
Das Bild dazu ist ein Tauziehen:
Resultierende Kraft Einstieg
Resultierende Kraft: Mehrere Kräfte ersetzt man durch eine einzige Kraft mit derselben Wirkung.
Beträge: Kräfte darf man nicht immer addieren: Es kommt auf die Richtungen an.
Mehrere Kräfte lassen sich stets zu einer Kraft mit derselben Wirkung zusammenfassen, der resultierenden Kraft \( \vec{F}_R \).
Drei Fälle — mehr gibt es nicht:
Wie man \( \vec{F}_R \) findet, hängt nur von den Richtungen ab.
Fall 1: Gleiche Richtung: \( F = F_1 + F_2 \)
Fall 2: Entgegengesetzte Richtung: \( F = F_2 - F_1 \)
Fall 3: Beliebige Richtungen: zeichnerisch über ein Parallelogramm.
Gleichgewicht: Bei entgegengesetzten Kräften wird die kleinere von der größeren abgezogen. Sind beide gleich groß, ist die resultierende Kraft null.
Parallelogramm: Beide Pfeile gehen vom selben Angriffspunkt aus. Die Diagonale des Parallelogramms ist die resultierende Kraft \(\vec{F}_R\).
Sonderfälle: Die Formel für \(F_R\) enthält Fall 1 (\(\alpha = 0^\circ\)) und Fall 2 (\(\alpha = 180^\circ\)) als Sonderfälle.
Fall 1 · gleiche Richtung:
\( F = F_1 + F_2 \)
Die Pfeile werden hintereinandergesetzt. Die resultierende Kraft ist so lang wie beide zusammen und zeigt in dieselbe Richtung.
Fall 2 · entgegengesetzte Richtung:
\( F = F_2 - F_1 \)
\(F_2\): Die größere der beiden Kräfte.
Richtung: Die resultierende Kraft zeigt in Richtung der größeren Kraft.
Zeigen die Kräfte weder in dieselbe noch in die genau entgegengesetzte Richtung:
Man kann \( \vec{F}_R \) auch berechnen, statt sie zu messen — mit \( \alpha \) als Winkel zwischen den beiden Kräften:
Resultierende Kraft im Parallelogramm:
\( F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_2 \cdot F_1 \cdot \cos\alpha} \)
\( \alpha \): Winkel zwischen \( \vec{F}_1 \) und \( \vec{F}_2 \).
\(x\), \(y\): Abschnitte des rechtwinkligen Dreiecks, das durch das Lot entsteht.
Lot: Gefällt vom Endpunkt von \( \vec{F}_R \) auf die Verlängerung von \( \vec{F}_2 \).
Der Beweis braucht nur den Satz des Pythagoras und \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \):
Die Formel enthält die beiden einfachen Fälle bereits als Sonderfälle:
| Fall | Richtungen | Konstruktion | Rechnung |
|---|---|---|---|
| 1 | gleiche Richtung (\(\alpha = 0^\circ\)) | Pfeile hintereinandersetzen | \(F = F_1 + F_2\) |
| 2 | entgegengesetzt (\(\alpha = 180^\circ\)) | Pfeile gegeneinandersetzen | \(F = F_2 - F_1\) |
| 3 | beliebiger Winkel \(\alpha\) | Parallelogramm, Diagonale | \(F_R = \sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_2F_1\cos\alpha}\) |
Stelle die beiden Kräfte und den Winkel zwischen ihnen ein. Das Parallelogramm wird live konstruiert, die Ergebniszeile zeigt den Betrag der resultierenden Kraft.
Halte fest: Zwischen 0° und 180° ändert sich die Länge der roten Diagonale: bei 0° so lang wie beide Kräfte zusammen, bei 180° nur noch so lang wie ihre Differenz. Bei 0° und 180° liegen alle drei Pfeile auf einer Geraden, die rote ist dort zur Sichtbarkeit darunter gezeichnet.
Drei häufige Stolperstellen:
Beträge addieren geht nur in Fall 1: Zwei Kräfte von je 900 N ergeben 1800 N in derselben Richtung, aber 0 N gegeneinander. Entschieden wird über die Richtung.
\(F_R\) ist nicht immer größer als jede Einzelkraft: Bei stumpfem Winkel kann sie kleiner sein, bei \(\alpha = 180^\circ\) und gleichen Beträgen sogar null. Größer als \(F_1 + F_2\) wird sie nie.
\(\vec{F}_R\) ist keine Seite des Parallelogramms: Die Seiten sind die Einzelkräfte und ihre Parallelen. \(\vec{F}_R\) ist die Diagonale, die im gemeinsamen Angriffspunkt beginnt.